Modulo xác định m

Các thuật toán hiệu quả đã biết để tính toán một định thức của ma trận nguyên với các hệ số tính theo , vòng dư lượng modulo m . Số m có thể không phải là số nguyên tố nhưng là tổng hợp (vì vậy việc tính toán được thực hiện theo vòng chứ không phải trường).$\mathbb{Z}_m$$m$$m$

Theo như tôi biết (đọc bên dưới), hầu hết các thuật toán là sửa đổi loại bỏ Gaussian. Câu hỏi là về hiệu quả tính toán của các thủ tục này.

Nếu nó xảy ra rằng có một số cách tiếp cận khác nhau, tôi cũng tò mò về nó.

Cảm ơn trước.

Cập nhật:

Hãy để tôi giải thích nguồn gốc của câu hỏi này. Giả sử, là số nguyên tố. Vậy Z m là một trường. Và trong trường hợp này, chúng tôi có thể thực hiện tất cả các tính toán bằng cách sử dụng các số nhỏ hơn m , vì vậy chúng tôi có một số giới hạn trên tốt đẹp cho tất cả các hoạt động trên các số: cộng, nhân và đảo ngược --- tất cả các hoạt động cần thiết để chạy loại bỏ Gaussian.$m$$\mathbb{Z}_m$$m$

Mặt khác, chúng tôi không thể thực hiện đảo ngược cho một số số trong trường hợp không phải là số nguyên tố. Vì vậy, chúng ta cần một số thủ thuật để tính toán xác định.$m$

Và bây giờ tôi tò mò những thủ thuật đã biết để thực hiện công việc là gì và liệu những thủ thuật đó có thể được tìm thấy trong các giấy tờ của sách hay không.

Nếu bạn biết hệ số của bạn có thể tính toán modulo mỗi p e i i một cách riêng biệt và sau đó kết hợp các kết quả bằng cách sử dụng phần còn lại của Trung Quốc. Nếu e i = 1 , thì tính toán modulo p e i i rất dễ, vì đây là một trường. Đối với e i lớn hơn , bạn có thể sử dụng nâng Hensel. $m = p_1^{e_1} \cdots p_n^{e_n}$$p_i^{e_i}$$e_i = 1$$p_i^{e_i}$$e_i$

Có một thuật toán kết hợp của Mahajan và Vinay hoạt động trên các vòng giao hoán: http://cjtcs.cs.uchicago.edu/articles/1997/5/contents.html

$m$$A$$\text{det}(A)$

$\omega$$n \times n$$\mathbb{Z}_m$$O(n^{\omega})$$\mathbb{Z}_m$

$A\in \mathbb{Z}_m^{n \times n}$$\text{det}(A)$$O(n^{\omega})$$\mathbb{Z}_m$

Khi điều này được viết vào năm 1996, không có sự thay thế nhanh hơn bất thường (bài báo đề cập đến sự tồn tại trước đó của các thuật toán có cùng ràng buộc nhưng tôi không biết đó là thuật toán nào, hoặc liệu chúng có xác suất không).

$m$$m$

$O(\log^2 m)$$O(M(\log m)\log \log m)$$M(t)$$t$$\omega$