(0,1)-vấn đề XOR

8

đây là một bản viết lại của một câu hỏi gần đây khác của tôi [1] không được nêu rõ (nó có một sự đơn giản hóa rõ ràng, mea culpa) nhưng tôi nghĩ vẫn còn một câu hỏi không cần thiết ở trung tâm của nó. đã thấy những vấn đề tương tự trong tài liệu nhưng không phải là vấn đề này nói riêng.

sẽ viết nó dưới dạng các vectơ bit vì đó là cách dễ nhất đối với tôi.

hãy để có một tập các vectơ bit có kích thước , . xem xét hoạt động XOR bitwise. đưa ra một vectơ đích . tìm một tập hợp con của vectơ sao cho XOR bitwise của tập hợp bằng vectơ đích. một thuật toán hiệu quả (hoặc lý tưởng, tối ưu) để tìm một tập hợp con là gì? $n$ $v_1, v_2, v_3, ... , v_n$ $v_0$

thuật toán brute Force liệt kê tập hợp sức mạnh có kích thước và liệt kê tập hợp con thứ 1 được tìm thấy. (hơi?) hiệu quả hơn sẽ xem xét 1 vị trí trong mục tiêu và loại trừ các tập hợp con không có ít nhất 1 vectơ với 1 ở vị trí 1 của mục tiêu. $2^n$

tập hợp con có thể tồn tại hoặc không tồn tại. nó có thể hoặc không thể là duy nhất

các câu hỏi liên quan chặt chẽ: (1) tìm tập hợp con nhỏ nhất, (2) đầu ra T / F tùy thuộc vào việc tập hợp con đó có tồn tại hay không.

Có một nghi ngờ một trong những vấn đề này là NP hoàn thành.

tìm kiếm tài liệu tham khảo, cái nhìn sâu sắc, vv sẽ rất thú vị để biết nếu có đầu vào "cứng" và "dễ dàng" vv

như tôi đã viết ở câu hỏi khác, điều này có vẻ liên quan mật thiết đến bài toán tổng con (xem ví dụ: garey & johnson ref) được biết là NP hoàn chỉnh nhưng điều này có vẻ "hơi" ít phức tạp hơn vì nó đơn giản hơn để tính toán một vectơ theo bit XOR hơn một tổng nhị phân (tổng có thể có nhiều chữ số nhị phân hơn).

vấn đề dường như cũng liên quan mật thiết đến câu hỏi gần đây của bin fu [2]

[1] /cstheory/10341/building-0-1-vector-out-of-xors

[2] Bài toán vectơ thuật toán

— vzn
nguồn

2

Vấn đề này chính xác là câu hỏi 'là vectơ trong khoảng của vectơ modulo 2?'; nếu là mod 2 độc lập tuyến tính thì tất cả đều được và vấn đề có thể được giải quyết bằng phép nghịch đảo ma trận; và ngay cả khi không độc lập, nó vẫn có thể được giải quyết dễ dàng thông qua việc loại bỏ gaussian. Vấn đề 'tập hợp con thỏa mãn nhỏ nhất' có thể là NP-đầy đủ - về cơ bản nó hỏi 'vectơ khác không có trọng lượng nhỏ nhất trong khoảng của các vectơ modulo 2 là gì?' - nhưng tôi không đủ tỉnh táo để có câu trả lời chính xác cho điều đó.

v_{0}

$v_0$

v_{1} . . v_{n}

$v_1..v_n$

v_{i}

$v_i$

v_{0}

$v_0$

v_{i}

$v_i$

— Steven Stadnicki

17

Đặt . Vấn đề là xác định xem hệ thống sau có giải pháp hay không: $v_0, v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{Z}_2^m$

(\begin{matrix} v_{1} & \dots & v_{n} \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = v_{0} (mod 2)

$\begin{pmatrix} v_1 & \cdots & v_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = v_0 \, (\text{mod } 2)$

Vấn đề này được biết là bởi [Damm90, BDHM92], do đó bên trong . $\oplus L$ $\text{NC}^2 \subseteq \text{P}$

[Damm90] Carsten Damm: Vấn đề hoàn hảo cho . Thông tin Quá trình. Lett. 36 (5): 247-250 (1990) [BDHM92] Gerhard Buntrock, Carsten Damm, Ulrich Hertrampf, Christoph Meinel: Cấu trúc và tầm quan trọng của lớp Logspace-MOD. Lý thuyết hệ thống toán học 25 (3): 223-237 (1992) $\oplus L$

— Michael Blondin
nguồn

12

Theo nhận xét của tôi: việc tìm tập hợp con thỏa mãn nhỏ nhất trên thực tế phải là NP-đầy đủ; việc giảm là do vấn đề mã trọng lượng tối thiểu (dựa trên cơ sở mã trên GF (2), vectơ trọng lượng tối thiểu trong mã là gì?) và điều này rõ ràng đã được chứng minh NP-hoàn thành vào năm 1997 bởi A. Vardy: " Tính hấp dẫn của việc tính toán khoảng cách tối thiểu của mã ", http://ieeexplore.ieee.org/xpl/freeabs_all.jsp?arnumber=641542

— Steven Stadnicki
nguồn

Nếu tôi nhớ đúng, Vardy sử dụng giảm từ bài toán tổng hợp con tối thiểu trên các trường hữu hạn của đặc tính 2, được biết là hoàn thành NP và thực sự tương đương với những gì OP yêu cầu.

— Mahdi Cheraghchi

1

Có bất kỳ kết quả gần đúng cho vấn đề này?

— Bin Fu

@bin chỉ chạy qua ref này mà xem xét các biến thể gần đúng Giảm quyết định cho khoảng cách Khoảng cách tối thiểu Vấn đề Cheng / Wan & trích dẫn các ref khác có thể hữu ích

— vzn