Biểu diễn các đồ thị không phẳng với các vòng tròn chồng chéo

Chúng ta biết rằng chúng ta có thể biểu diễn bất kỳ biểu đồ phẳng nào bằng một tập hợp các vòng tròn trong mặt phẳng, được gọi là biểu đồ đồng xu . Mỗi vòng tròn đại diện cho một đỉnh và có một cạnh giữa hai đỉnh khi và chỉ khi các vòng tròn "hôn" tại ranh giới của chúng.

Giả sử thay vì chúng ta cho phép các vòng tròn chồng lên nhau và thể hiện một cạnh bằng một cặp vòng tròn giao nhau trong nội thất của chúng? Lớp biểu đồ nào chúng ta có thể biểu diễn trong mô hình này? Rõ ràng chúng ta có thể biểu diễn các đồ thị hoàn chỉnh (mọi vòng tròn giao nhau với các vòng tròn khác). Chúng ta có thể đại diện cho tất cả các đồ thị như thế này?

Bài báo dứt khoát là một bài báo của Hlineny và Kratochvil từ năm 2001. Trong đó, họ cho thấy vấn đề nhận ra biểu đồ giao nhau của đĩa (câu hỏi của bạn) là NP-hard, điều này cho thấy rằng sẽ rất khó để đưa ra một đặc tính rõ ràng. Họ cũng chỉ ra rằng không thể được biểu diễn dưới dạng giao điểm của các đĩa, trả lời phần khác của câu hỏi của bạn.$K_{3,3}$

Trong một bài báo với McDiarmid, chúng tôi đã chỉ ra rằng số lượng đồ thị được dán nhãn trên đỉnh là đồ thị giao nhau của các đĩa là ít hơn , tổng số đồ thị được dán nhãn trên đỉnh và hơn thế nữa là , số lượng đồ thị phẳng (chạm vào đồ thị của đĩa) trên đỉnh. (Ở đây tôi có nghĩa là một đại lượng được giới hạn dưới bởi và ở trên bởi đối với một số hằng số ) n 3 n ⋅ q ( 1 ) $n$$n^{3n} \cdot \Theta(1)^n$$2^{{n\choose 2}}$$n$$n^n \Theta(1)^n$$n$
$\Theta(1)^n$$c^n$$C^n$$c,C > 0$

@ David: Cảm ơn đã đề cập đến công việc của tôi!
Tôi cũng không biết bất kỳ bài báo nào thực hiện việc giảm bớt lý thuyết hiện thực về thực tế (ERT) cho các biểu đồ đĩa tùy ý. Tuy nhiên, trong một bài báo khác với McDiarmid , chúng tôi đã đưa ra một bản dựng để sắp xếp dòng "nhúng" vào biểu đồ đĩa có thể biến thành bằng chứng hoàn chỉnh cho ERT với một số công việc bổ sung theo những gì chúng tôi đã làm trong bài báo với Kang.

Tobias Mueller