Làm thế nào lớn là phương sai của treewidth của một đồ thị ngẫu nhiên trong G (n, p)?

Tôi đang cố gắng tìm xem mức độ gần gũi của và , khi và là một hằng số không phụ thuộc vào n (vì vậy ). Ước tính của tôi là $tw(G)$ $E[tw(G)]$ $G \in G(n,p=c/n)$ $c>1$ $E[tw(G)] = \Theta(n)$ whp, nhưng tôi chưa thể chứng minh điều đó. $tw(G) \leq E[tw(G)] + o(n)$

— Anh
nguồn

Động lực cho câu hỏi là gì? (tức là tại sao lại quan tâm đến vấn đề này?)

— Kaveh

Chà ... tôi đã tự hỏi về kiến thức của một số cạnh có thể ảnh hưởng đến treewidth ước tính (kiến thức về sự tồn tại của mỗi cạnh có thể ảnh hưởng đến treewidth nhiều nhất), và điều đó dẫn tôi đến câu hỏi này (nhiều hơn thế thú vị)

— Kostas

Đặc biệt, điều này có ý nghĩa đối với giới hạn trên của việc đếm mô hình trong chế độ thỏa đáng cho các trường hợp ngẫu nhiên của SAT (và lượng tử-SAT), trong giai đoạn của các đồ thị Erdos-Renyi ngẫu nhiên có thành phần kết nối lớn. Trong phạm vi mà chúng tôi quan tâm đến SAT ngẫu nhiên như một chủ đề của khoa học máy tính lý thuyết, và cũng là cách tiếp cận liên quan đến treewidth để ràng buộc sự phức tạp của #SAT và các vấn đề tương tự, câu hỏi này được thúc đẩy tốt.

— Niel de Beaudrap

Bạn không cần tính toán phương sai để chứng minh nồng độ tw (G (n, p)) xung quanh kỳ vọng của nó. Nếu hai đồ thị G 'và G khác nhau bởi một đỉnh thì treewidth của chúng khác nhau nhiều nhất là một. Ví dụ, bạn có thể sử dụng phương pháp chuẩn, bất đẳng thức Hoeffding-Azuma được áp dụng cho martingale tiếp xúc đỉnh để hiển thị, ví dụ,

$\mathbb{P}( | tw(G(n,p)) - \mathbb{E} tw(G(n,p))| > t) \le 3 e^{- t^2/(2 n)}$

$t = n^{0.51}$

$G(n,p)$

— Ngày lễ tình nhân
nguồn