Nếu tôi có một tập các ràng buộc tuyến tính, trong đó mỗi ràng buộc có tối đa 4 biến (nói) tất cả các hệ số không âm và với các hệ số {0,1} ngoại trừ một biến có thể có hệ số -1), thì điều gì đã biết về giải pháp không gian? Tôi ít quan tâm đến một giải pháp hiệu quả (mặc dù vui lòng cho biết nếu một người biết) hơn là biết mức tối thiểu của hàm mục tiêu có thể nhỏ đến mức nào, như là một hàm của số lượng biến và số lượng ràng buộc và số lượng biến trên mỗi hạn chế.
Cụ thể hơn, chương trình là một cái gì đó như
tối thiểu t
chủ đề
cho tất cả i, x_i là số nguyên dương
x1 + x2 + x3 - t <0
x1 + x4 + x5 - t <0
...
x3 + x6 - t ≥ 0
x1 + x2 + x7 - t ≥ 0
...
Nếu cần một câu hỏi cụ thể, thì đó có phải là trường hợp mà giải pháp tối thiểu tuân theo t <= O (max {# biến, # của ràng buộc}), với hằng số trong O () tùy thuộc vào độ thưa? Nhưng ngay cả khi câu trả lời là không, tôi vẫn quan tâm hơn đến việc biết loại sách giáo khoa hoặc bài báo nào để thảo luận về các vấn đề đó, và nếu có một lĩnh vực nghiên cứu dành cho loại điều này nhưng tôi không biết các điều khoản để tìm kiếm. Cảm ơn bạn.
Cập nhật: Với sự phản ánh sâu hơn (và suy nghĩ về việc giảm 3SAT khá đơn giản đối với ILP, sử dụng các ràng buộc với ba biến), tôi nhận thấy rằng vấn đề về hệ số là rất quan trọng (nếu có một thuật toán hiệu quả). Chính xác hơn, tất cả các biến x_i đều có 0 hoặc 1 hệ số (với tối đa ba hệ số 1 trong bất kỳ một ràng buộc nào) và tất cả các biến t có hệ số -1 và tất cả các phép so sánh đều có biến ở bên trái và 0 ở bên phải. Tôi đã cập nhật ví dụ trên để làm rõ.