Xây dựng các vectơ ở vị trí chung

Hãy để một thực ( ) ma trận với tài sản là bất kỳ bộ sưu tập các cột đầy xếp hạng. $k\times n$ $k\le n$ ${\bf A}$ $k$

Q: Có một cách hiệu quả để deterministically tìm một vector ví dụ rằng ma trận Augmented ${\bf a}$ giữ nguyên thuộc tính như : bất kỳcột nàođều có thứ hạng đầy đủ. ${\bf A}' = [{\bf A}\;{\bf a}]$ ${\bf A}$ $k$

Sidenote có liên quan: Một ma trận có thuộc tính này là trình tạo mã Mã sậy-Solomon: thêm các cột bảo tồn cấu trúc Vandermonde của nó bảo vệ thuộc tính xếp hạng. $(n,k)$

— Dimitris
nguồn

Tôi không chắc chắn nếu tôi hiểu quan điểm của bạn. Tôi yêu cầu

không phải là vấn đề.

k \leq n

$k\le n$

k = n

$k=n$

— Dimitris

@ Jɛ ﬀ E k không thay đổi: trong trường hợp k = n, chỉ n trong số các cột (hiện tại) n + 1 cần phải được xếp hạng đầy đủ. Trong trường hợp này, vấn đề phải dễ dàng: tìm một phép biến đổi affine của ma trận thành cơ sở trực giao của R ^ n, và sau đó đặt một vectơ có hình ảnh dưới đây là vectơ tất cả 1s.

— Suresh Venkat

Dường như với tôi rằng đây sẽ là một cách để làm điều này thông qua Grassmanian, nhưng tôi không thấy rõ lắm.

— Suresh Venkat

a

${\bf a}$

k

$k$

(k - 1)

$(k-1)$

câu hỏi hay Nghe có vẻ như là một phiên bản yếu hơn của vấn đề xác minh thuộc tính isometry bị hạn chế, mở rộng theo như tôi biết.

— Sasho Nikolov

$\mathbf{a}$ $[0,1]^n$ $[\mathbf{A}~ \mathbf{a}]$ $1$

— Jeffε
nguồn

(\binom{n}{k})

${{n}\choose{k}}$

Câu hỏi đặc biệt yêu cầu một thuật toán xác định hiệu quả . Nếu bạn trả lời một cái gì đó liên quan nhưng không thỏa mãn điều kiện được nêu trong câu hỏi, bạn nên nói rõ ràng theo ý kiến của tôi.

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiTôi làm gì, bạn không thích mèo con? :)

— Suresh Venkat

@Suresh: Trong thực tế, sẽ thật thú vị nếu máy tính của tôi đột nhiên biến thành một con mèo con. Về lý thuyết, mặc dù, trước tiên bạn phải xác định một con mèo con.

— Tsuyoshi Ito

O (2^{k})

$O(2^k)$