Độ phức tạp tham số của đếm số xe đạp

Trong một câu hỏi trước đây Thuật toán tham số hóa tìm kiếm xe đạp , tôi đã hỏi liệu có thuật toán tham số nhanh nào để tìm -biclique trong đồ thị đỉnh và biết rằng nó đã mở nếu đó là FPT wrt . Là như nhau đúng đối với đếm các -bicliques, hoặc là nó biết rằng đây là # -Hard wrt (hoặc một số khái niệm khác của độ cứng)?n k k × k W \ [ 1 \] $k\times k$$n$$k$$k\times k$$W\[1\]$$k$

Tôi biết rằng đếm gây ra -bicliques là # -Hard, mở rộng việc giảm đơn giản cho việc tìm kiếm một biclique gây ra trong phần 4.5 trong luận án Serge Gaspers' .W \ [ 1 $k\times k$$W\[1\]$

Điều này phải là #W [1] -hard bởi một đối số nội suy tiêu chuẩn. Đây là một bản phác thảo thô.

Đầu tiên, hãy xem xét các phiên bản màu của vấn đề biclique: cho một đồ thị mà tập hợp các đỉnh được phân chia thành các lớp , hãy tìm một biclique chứa chính xác một đỉnh từ mỗi bộ. Không giống như Biclique, có trạng thái FPT mở, phiên bản nhiều màu này được biết đến là W [1] -hard: có một sự giảm bớt dễ dàng từ cụm. Tôi tin rằng nó cũng phải là #W [1] -hard.$X_1,\dots, X_{2k}$

Cho một đồ thị và phân vùng như trên, chúng ta hãy lấy một đồ thị mới G ' bằng cách thay thế mỗi đỉnh của X i với một bộ phụ thuộc vào kích thước x i (và thay thế mỗi cạnh giữa X i và X $G$$G'$$X_i$$x_i$$X_i$$X_j$ bởi một xe đạp). Bây giờ số lượng k × k bicliques trong G ' là một chức năng của 2 k biến x 1 , ... , x 2 $x_i\times x_j$$k\times k$$G'$$2k$$x_1,\dots,x_{2k}$. Trong thực tế, người ta có thể thấy rằng chức năng này là một đa thức bậc nhất và hệ số thuật ngữ x 1 ⋅ ⋯ ⋅ x 2 k là chính xác số lượng bicliques nhiều màu trong G . Như vậy bằng cách thay thế đủ nhiều sự kết hợp của các giá trị vào biến x i và đếm số lượng bicliques trong G ' , chúng ta có thể đánh giá đa thức này đủ nhiều nơi để khôi phục lại hệ số của nó bằng phép nội suy.$2k$$x_1\cdot\dots\cdot x_{2k}$$G$$x_i$$G'$