Sự phức tạp của việc quyết định liệu một ma trận là hoàn toàn thường xuyên

Một ma trận được gọi là hoàn toàn đều đặn nếu tất cả các ma trận vuông của nó có thứ hạng đầy đủ. Ma trận như vậy đã được sử dụng để xây dựng các siêu tập trung. Sự phức tạp của việc quyết định liệu một ma trận nhất định có hoàn toàn đều đặn so với các tỷ lệ hợp lý không? Trên các lĩnh vực hữu hạn?

Tổng quát hơn, gọi một ma trận hoàn toàn không đều nếu tất cả các mô hình con kích thước vuông của nó nhiều nhất là có thứ hạng đầy đủ. Cho một ma trận và một tham số , độ phức tạp của việc quyết định xem ma trận có hoàn toàn không đều không?k k $k$$k$$k$$k$

Các ma trận Vandermonde, NP-Hoàn thành và các không gian chuyển đổi [ps] của Alexander Chistov, Hervé Fournier, Leonid Gurvits và Pascal Koiran có thể liên quan đến câu hỏi của bạn (mặc dù nó không trả lời).

Chúng chứng minh tính toán của vấn đề sau: Cho ma trận trên ( ), quyết định xem có tồn tại một Subatrix mà biến số xác định của nó biến mất hay không. n × m Z n ≤ m n × $\mathsf{NP}$$n\times m$$\mathbb Z$$n\le m$$n\times n$

Vâng, vấn đề của bạn là về cơ bản tương đương với một (chung Chức) trong Alexander Chistov, Hervé Fournier, Leonid Gurvits và Pascal Koiran giấy .

Xét một ma trận , . Không mất tính tổng quát, giả sử rằng và cột đầu tiên của là độc lập: , trong đó là ma trận . Bây giờ, chứa một số ít Subatrix khi và chỉ khi không hoàn toàn đều đặn.A n < m hạng ( A ) = n n A A = [ B | D ] B n × n A n × n B - 1$n \times m$$A$$n < m$$\text{rank}(A) = n$$n$$A$$A =[B\ |\ D]$$B$$n \times n$$A$$n \times n$$B^{-1}D$

Có một vấn đề NP-Complete khác theo cùng một tinh thần: cho một ma trận vuông để quyết định xem tất cả các mô hình con chính của nó (tức là các hàng và cột trong cùng một tập hợp) có phải là không. Một sự thật tò mò khác: tổng bình phương của các yếu tố quyết định của tất cả các mô hình con vuông là dễ dàng (chỉ Det (I + AA ^ {T})), nhưng tổng các giá trị tuyệt đối là # P-Complete.