Quyết định đồ thị đồng cấu

Quyết định đồ thị đồng nhất là nói chung NP-Complete.

Có bất kỳ kết quả nào nghiên cứu vấn đề này khi các biểu đồ cơ bản có cấu trúc đại số (chẳng hạn như quyết định đồng cấu từ các biểu đồ tập hợp Cayley hoặc Cayley sang các biểu đồ khác với một số cấu trúc xác định)? Ngoài kết quả phức tạp, tôi cũng quan tâm đến các kỹ thuật đại số và / hoặc quang phổ hữu ích.

Nếu là một lớp biểu đồ có giới hạn treewidth, thì vấn đề đồng hình từ các biểu đồ trong có thể giải được theo thời gian đa thức. Điều này có thể được khái quát thành thuộc tính chung hơn của "đồ thị có lõi đã giới hạn treewidth."$\mathcal{G}$$\mathcal{G}$

Grohe chứng minh một điều ngược lại: nếu các lõi của đồ thị trong có treewidth không bị ràng buộc, thì vấn đề đồng hình từ không thể giải được theo thời gian đa thức (giả sử ). Do đó, nếu bạn giới hạn biểu đồ phía bên trái đối với biểu đồ Cayley, v.v., thì vấn đề quan trọng là liệu các lõi có giới hạn treewidth hay không.G F P T ≠ W [ 1 $\mathcal{G}$$\mathcal{G}$$FPT\neq W[1]$

http://dl.acm.org/authorize?951212

Lưu ý rằng điều này không hoàn toàn trả lời câu hỏi của bạn: trong kết quả của Grohe, người ta cho rằng biểu đồ phía bên phải là tùy ý. Bạn dường như quan tâm đến kết quả trong đó biểu đồ phía bên phải cũng bị giới hạn trong một số loại biểu đồ cụ thể.

Quyết định xem có một phép đồng hình đồ thị dễ hơn so với việc đếm số lượng đồng cấu đồ thị (có trọng số).

Trường hợp có trọng số

Đối với đồ thị mục tiêu vô hướng (nghĩa là số lượng đồng cấu đồ thị có trọng số từ đồ thị đầu vào đến ), có một định lý phân đôi.G $H$$G$$H$

Jin-Yi Cai, Xi Chen, Pinyan Lu. Đồ thị đồng cấu với các giá trị phức tạp: Một định lý lưỡng phân .

Nghĩa là, mọi đồ thị mục tiêu đều xác định bài toán đếm thời gian tính toán # P-hard hoặc đa thức (xem Định lý 1.1).$H$

Có một chút khó khăn để giải thích đồ thị xác định các vấn đề tính toán đa thức (xem Định lý 5.7 cho câu lệnh và trang 4 cho chỉ số của các điều kiện), nhưng cũng là thời gian đa thức để tính toán nếu đồ thị mục tiêu xác định một vấn đề dễ dàng (xem Định lý 1.2).$H$$H$

Khả năng biến đổi xuất phát từ khả năng tính toán tổng số mũ theo một chuỗi các biến modulo tạo thành một đa thức bậc hai theo cấp số nhân của một đơn vị thứ , trong đó là một lũy thừa (xem phần đầu của phần 12).q $q$$q$$q$

Trường hợp không trọng lượng

Các trường hợp không trọng lượng là đơn giản hơn nhiều. Dưới đây, tôi nêu Định lý 1.1 từ bài báo sau.

Martin Dyer, Catherine Greehill. Sự phức tạp của việc đếm đồng cấu đồ thị . (Ngoài ra liên kết trực tiếp này đến một tệp PDF miễn phí.)

Định lý 1:

$H$$H$$H$