Giải quyết hiệu quả một hệ thống bất đẳng thức tuyến tính nghiêm ngặt với tất cả các hệ số bằng 1 mà không cần sử dụng bộ giải LP chung?

Theo tiêu đề, ngoài việc sử dụng bộ giải LP cho mục đích chung, có cách tiếp cận nào để giải các hệ bất phương trình trên các biến trong đó bất đẳng thức có dạng ? Còn về trường hợp đặc biệt của sự bất bình đẳng mà hình thành một trật tự tổng số hơn số tiền của các thành viên của tập sức mạnh của ? $x_i, \ldots, x_k$ $\sum_{i \in I} x_i < \sum_{j \in J} x_j$ $\{x_i, \ldots, x_k\}$

ds.algorithms linear-algebra linear-programming

— jonderry
nguồn

@Ankur: không quan trọng là số nguyên hay số thực. Nếu đây là những bất đẳng thức nghiêm ngặt, bạn có thể làm tròn chúng thành số hữu tỷ, sau đó nhân chúng với mẫu số chung nhỏ nhất để có được một nghiệm nguyên.

— Peter Shor

Tôi không biết bạn có thể viết mã gì trong 30 phút (bằng ngôn ngữ nào?). Nếu đó là tiêu chí cho đơn giản, thì đây có thực sự là một câu hỏi trong khoa học máy tính lý thuyết không?

— Tsuyoshi Ito

Điểm tốt Peter Shor. jonderry, tôi lấy lại tuyên bố của tôi. Tôi đã nghĩ rằng bài toán tổ hợp của việc thỏa mãn các bất đẳng thức nghiêm ngặt này và bài toán phân tích lồi tìm điểm bên trong của hình nón là khác biệt về chất. Tôi đã sai.

— Ankur

@Tsuyoshi: Không cần phải tầm thường, nhưng tôi tò mò muốn biết liệu điều này có thể được thực hiện từ các nguyên tắc đầu tiên mà không sử dụng tất cả sức mạnh bổ sung của bộ giải LP đầy đủ hay không, đặc biệt đối với trường hợp đặc biệt mà chúng tôi có đặt hàng của tất cả các tập hợp con (lưu ý trong trường hợp này là thời gian đa thức là số mũ của số lượng biến).

— jonderry

Vậy thì tôi nghĩ rằng vấn đề này có thể giải quyết hiệu quả mà không cần sử dụng các thuật toán chung cho lập trình tuyến tính không? là một cách tốt để xây dựng câu hỏi của bạn tốt hơn.

— Tsuyoshi Ito

Đối với câu hỏi đầu tiên của bạn, không có tổng thứ tự, câu trả lời cho câu hỏi của bạn là về cơ bản nó khó như lập trình tuyến tính. Đây là một phác thảo của một bằng chứng.

$x_1>0$ $\epsilon$ $x_i$ $1$

ϵ ≪ 1 .

$\epsilon \ll 1\, .$

x_{1} < x_{2},

$x_1 < x_2,$

x_{1} + x_{2} < x_{3},

$x_1 + x_2 < x_3,$

x_{2} + x_{3} < x_{4},

$x_2+x_3 < x_4,$

N x_{1} < x_{i}

$Nx_1 < x_i$

ϵ < 1 / N

$\epsilon < 1/N$

N

$N$

N

$N$

i

$i$

$x_t$

x_{t} < x_{t^{'}} < x_{t^{″}} < x_{t} + ϵ

$x_t < x_{t'} < x_{t''} < x_t + \epsilon$

x_{t} + x_{t^{'}} + x_{t^{″}}

$x_t + x_{t'} + x_{t''}$

x_{t}

$x_t$

x_{u} \approx 2 x_{t}

$x_u \approx 2x_t$

x_{v} \approx 2 x_{u}

$x_v \approx 2x_u$

x_{i} = 1

$x_i = 1$ . Kỹ thuật này sẽ cho phép chúng tôi sử dụng các chương trình tuyến tính dưới dạng OP để kiểm tra tính khả thi đối với các chương trình tuyến tính tùy ý với các hệ số nguyên, một nhiệm vụ cơ bản khó như lập trình tuyến tính.

Tôi không biết cách phân tích câu hỏi thứ hai, hỏi về trường hợp có tổng thứ tự trên tất cả các tập con.

— Peter Shor
nguồn