Một biến thể về sự khác biệt liên quan đến đồ thị ngẫu nhiên

Giả sử chúng ta có một đồ thị trên $n$ nút. Chúng tôi muốn gán cho mỗi nút a $+1$ hoặc a $−1$ . Gọi đây là cấu hình $\sigma \in \{+1,−1\}^n$ . Số lượng $+1$ s mà chúng ta phải assign là chính xác $s$ (do đó số lượng $−1$ s là $n−s$ .) Cho một cấu hình $\sigma$ , chúng ta nhìn vào mỗi nút $i$ và tổng hợp các giá trị được gán cho các nước láng giềng, gọi đây $\xi_i(\sigma)$ $\xi_i(\sigma)$

N (σ) := \sum_{i = 1}^{n} 1 {ξ_{i} (σ) \geq 0} .

$N(\sigma):=\sum_{i=1}^n 1\{\xi_i(\sigma) \ge 0\}.$

σ

$\sigma$

N (σ)

$N(\sigma)$

(max N) / n

$(\max N)/n$

s / n

$s/n$ . Tôi tự hỏi nếu vấn đề này có vẻ quen thuộc với bất cứ ai, hoặc nếu nó có thể được giảm xuống thành một số vấn đề đã biết trong lý thuyết đồ thị. Nếu nó giúp, đồ thị có thể được coi là ngẫu nhiên của loại Erdős-Renyi (giả sử G (n, p) với xác suất cạnh , tức là mức độ trung bình tăng lên như ). Barsest chính là trong trường hợp .

p (\log n) / n

$p ~ (\log n)/n$

\log n

$\log n$

s / n \in (0, 1 / 2)

$s/n \in (0,1/2)$

graph-theory co.combinatorics optimization

— người qua đường51
nguồn

Tôi đã thay đổi tiêu đề, bởi vì những gì bạn hỏi có liên quan đến các vấn đề khác biệt trong không gian phạm vi. Tuy nhiên KHÔNG liên quan đến sự khác biệt trong biểu đồ (liên quan nhiều hơn đến độ lệch mật độ cạnh)

— Suresh Venkat

ràng buộc đơn giản: lấy ngẫu nhiên ; , trong đó là mức độ của đỉnh và là một hằng số. Vì vậy, . Nếu nói và đồ thị là , thì tồn tại sao cho .

σ

$\sigma$

Pr [ξ_{i} (σ) < 0] \leq \exp (- C δ_{i} (s / n - 1 / 2)^{2})

$\Pr[\xi_i(\sigma) < 0] \leq \exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)$

δ_{i}

$\delta_i$

i

$i$

C

$C$

E [N (σ)] \geq \sum_{i} 1 - \exp (- C δ_{i} (s / n - 1 / 2)^{2})

$E[N(\sigma)] \geq \sum_i{1-\exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)}$

s = 3 n / 4

$s = 3n/4$

(16 / C) \log n

$(16/C)\log n$

σ

$\sigma$

N (σ) \geq n - O (1)

$N(\sigma) \geq n - O(1)$

— Sasho Nikolov

@Suresh: Cảm ơn. Đó là những gì tôi thích khi hỏi các nhà khoa học máy tính, bạn học được điều gì đó mới! Vì vậy, đâu là nơi tốt để tìm hiểu về các vấn đề khác biệt trong không gian phạm vi? (Có thể là một bài viết ngắn gọn?)

— người qua đường51

@Sasho: Cảm ơn. Vì một số lý do, tôi không thể thấy các phương trình chính xác (chúng đã va chạm với văn bản xung quanh.) Tôi sẽ cố gắng đọc nó và lấy lại cho bạn. Nhưng tôi nên đề cập rằng chế độ thú vị đối với tôi là và vấn đề dường như trở nên khó khăn hơn khi tiến đến . (Điều này là do sự cân nhắc đối xứng trong vấn đề ban đầu xuất phát từ vấn đề này.) Tôi không nghĩ rằng việc nhìn vào một ngẫu nhiên sẽ làm điều đó cho .

s / n \in (0, 1 / 2)

$s/n \in (0,1/2)$

s / n

$s/n$

1 / 2

$1/2$

σ

$\sigma$

s / n \in (0, 1 / 2)

$s/n \in (0,1/2)$

— người qua đường51

Dự đoán / hy vọng là để nói G (n, p) với hoặc . Tôi chỉ nhận ra lỗi đánh máy trong bài viết gốc của tôi liên quan đến . Xin lỗi vì điều đó. Mức độ avarage đang tăng lên khi không .

(max N) / n = o (1)

$(\max N)/n = o(1)$

p (\log n) / n

$p ~ (\log n) / n$

p (\log n)^{1 + ϵ} / n

$p ~ (\log n)^{1+\epsilon} /n$

p

$p$

\log n

$\log n$

p

$p$

— người qua đường51

Câu trả lời:

Bạn có thể tiếp cận điều này bằng phép tính "phương pháp khoảnh khắc thứ hai", tương tự như phương pháp tôi đã sử dụng trong Ngưỡng sắc nét cho một vấn đề thỏa mãn ràng buộc ngẫu nhiên , Toán học rời rạc 285 / 1-3 (2004), 301-305.

Khi mức độ trung bình tăng như thời gian không đổi đủ lớn , cách tiếp cận này thường đủ để tìm ra chính xác ngưỡng thỏa mãn. Nó cũng có thể hiển thị một phần các mệnh đề có thể được thỏa mãn trong một trường hợp không thỏa mãn, mặc dù tôi chưa điều tra điều đó. $\log n$

Để làm cho vấn đề của bạn giống với vấn đề chung của tôi, bạn có thể xem vấn đề này dưới dạng "MAX-AT-LEAST-HALF-SAT" với cấu trúc đồ họa đặc biệt nằm dưới các mệnh đề trong công thức CNF. Tuy nhiên, tôi không nghĩ rằng cấu trúc đặc biệt này sẽ giúp phân tích trường hợp xấu nhất và vì kích thước mệnh đề của bạn không đồng nhất và tập hợp gán "xấu" của bạn là growinyou sẽ phải xem xét tính toán và xem liệu nó có vẫn hoạt động.

— Flaxman
nguồn

nhìn vào điều này như một CSP có vẻ thực sự phù hợp hơn là xem nó như một vấn đề khác biệt

— Sasho Nikolov

Cảm ơn bạn. Điều này có vẻ rất thú vị. Tôi sẽ nhìn vào nó.

— người qua đường51

Hãy để tôi giải thích về nhận xét của tôi. Đầu tiên, điều này tương tự như sự khác biệt, nhưng tất nhiên khác nhau theo nhiều cách. Cho một hệ thống gồm bộ , sự khác biệt của hệ thống là . Hãy biểu thị. Định nghĩa của bạn khác ở chỗ bạn muốn biết có bao nhiêu bộ là dương và sự khác biệt sẽ hỏi lớn đến mức nào trong trường hợp xấu nhất. Đối với một giới thiệu nhanh chóng, có thể ghi chú ghi chép của tôi có thể giúp đỡ. Chazelle có một cuốn sách hay đi vào rất nhiều chi tiết. $m$ $S_1, \ldots, S_m \subseteq \{1, \ldots n\} = [n]$ $\min_{\sigma:[n] \rightarrow \{\pm 1\}}{\max_{j}{|\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|}}$ $\sigma(S_j) = |\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|$ $\sigma(S_j)$ $\sigma(S_j)$

Để dễ dàng xác suất thấp hơn ràng buộc khi , như trong nhận xét của tôi, đã đưa ra một biểu đồ với trình tự độ , bạn có thể chọn ngẫu nhiên từ tất cả các chuỗi với (s không độc lập, nhưng cũng có thể chứng minh một ràng buộc của Chernoff trong trường hợp này). Chúng tôi có và, bởi một ràng buộc của Chernoff, đối với một số không đổi . Vậy . Vì vậy, có tồn tại một số $s > n/2$ $G = ([n], E)$ $\delta_1, \ldots, \delta_n$ $\sigma$ $s$ $1$ $\sigma_i$ $E[\xi_i(\sigma)] = \delta_i s/n$ $\Pr[\xi_i(\sigma) < 0] \leq \exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)$ $C$ $E[N(\sigma)] \geq n - \sum_i{\exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)}$ $\sigma$ mà đạt được ràng buộc này.

EDIT: Có vẻ như bạn quan tâm đến trường hợp . Hãy chọn ngẫu nhiên theo cách tương tự như trong đoạn trước. Sử dụng một phiên bản của định lý giới hạn trung tâm để lấy mẫu mà không thay thế ( là một mẫu có kích thước mà không thay thế từ các đỉnh của đồ thị), bạn sẽ có thể chỉ ra rằng hoạt động như một Gaussian có nghĩa là và phương sai về , vì vậy cho một số C và một tham số lỗi từ định lý giới hạn trung tâm. Chúng ta nên có $s < n/2$ $\sigma$ $\sigma$ $s$ $\xi_i(\sigma)$ $\delta_i (2s/n - 1)$ $\delta_i$ $\Pr[\xi_i(\sigma) \geq 0] =\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2) \pm \eta(n)$ $\eta(n)$ $n\eta(n) = o(n)$ , vì vậy bạn có thể lấy . $N(\sigma) \geq \sum_{i}{\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2)} - o(n)$

Tuyên bố miễn trừ trách nhiệm: điều này chỉ có ý nghĩa nếu không đổi / nhỏ hoặc rất gần với . Ngoài ra các tính toán có phần heuristic và không được thực hiện rất cẩn thận. $\delta_i$ $s/n$ $n/2$

— Sasho Nikolov
nguồn

Cảm ơn bạn cho các liên kết tốt đẹp và các đối số. Tôi thích lập luận xác suất, nhưng tôi nghĩ có điều gì đó không ổn với ràng buộc của bạn. Bạn có thể thấy điều này, bằng cách đặt , trong đó chúng ta sẽ có . Có vẻ như đây là sự cố xảy ra: Nếu bạn chọn ngẫu nhiên một cách ngẫu nhiên từ tập hợp được chỉ định trong vấn đề, mỗi đều có . là và thăm dò. của là . Do đó, âm đối với ...

s = 0

$s = 0$

P r [ξ_{i} (σ) < 0] = 1

$Pr[\xi_i(\sigma) < 0] = 1$

σ

$\sigma$

σ_{j}

$\sigma_j$

γ := s / n

$\gamma := s/n$

+ 1

$+1$

1 - γ

$1-\gamma$

- 1

$-1$

E [ξ_{i} (σ)] = (2 γ - 1) δ_{i}

$E[ \xi_i(\sigma)] = (2\gamma-1) \delta_i$

γ \in (0, 1 / 2)

$\gamma \in (0,1/2)$

— passerby51

Các sẽ không được độc lập và nói đúng, chúng tôi không thể sử dụng bất đẳng thức hoeffding nói. Nhưng chúng ta hãy bỏ qua chi tiết nhỏ này và giả sử chúng là iid Sau đó, ràng buộc sẽ là giữ cho . Chúng tôi không thể đặt để nhận .

{σ_{j}}

$\{\sigma_j\}$

P r [\frac{1}{δ_{i}} ξ_{i} (σ) < - t + 2 γ - 1) \leq \exp (- δ_{i} t^{2} / 2)

$Pr[ \frac{1}{\delta_i} \xi_i(\sigma) < -t + 2\gamma - 1) \le \exp ( -\delta_i t^2/2)$

t \geq 0

$t \ge 0$

t = 2 γ - 1 < 0

$t = 2\gamma - 1 < 0$

P r [ξ_{i} (σ) < 0]

$Pr[\xi_i(\sigma) <0]$

— người qua đường51

xin lỗi, tôi nên xác định rằng: giả định ở đây là . mặt khác, điều này vô nghĩa và bạn cần thứ gì đó mạnh mẽ hơn như Berry-Esseen. tôi nghĩ rằng có thể được coi là độc lập về cơ bản

s > n / 2

$s > n/2$

σ_{j}

$\sigma_j$

— Sasho Nikolov

@ passerby51 đã thêm một bản phác thảo về cách bạn có thể cố gắng sử dụng phiên bản định lượng của định lý giới hạn trung tâm để mở rộng xác suất ràng buộc với .

s / n < 1 / 2

$s/n < 1/2$

— Sasho Nikolov