Vấn đề gần nhất của người Viking đối với phỏng đoán Collatz đã được giải quyết thành công là gì?

Tôi quan tâm đến vấn đề "gần nhất" (và "phức tạp nhất") đối với phỏng đoán Collatz đã được giải quyết thành công (mà Erdos nổi tiếng nói rằng "toán học chưa chín muồi cho những vấn đề như vậy"). Nó đã được chứng minh rằng một lớp các vấn đề "giống như Collatz" là không thể giải quyết được. Tuy nhiên, các vấn đề tương tự mơ hồ như trò chơi MIU của Hofstadter (đã được giải quyết, nhưng thừa nhận nhiều hơn về vấn đề đồ chơi) thực sự có thể quyết định hoặc đã được giải quyết.

Câu hỏi liên quan

Phỏng đoán Collatz & Ngữ pháp / Automata

— vzn
nguồn

Vì đây là HTML chứ không phải LaTeX, sẽ dễ dàng hơn nếu bạn nội tuyến các tài liệu tham khảo nơi chúng thích hợp.

— Suresh Venkat

TCS / góc thực nghiệm trên collatz / refs

— vzn

Có ít nhất một người tuyên bố "phỏng đoán Collatz" là câu trả lời duy nhất cho câu hỏi của bạn. Tôi nghi ngờ về tính đầy đủ của bằng chứng được liên kết, nhưng tôi chưa dành đủ thời gian để phân tích nó.

— Boyd Stephen Smith Jr.

fyi ở đây là một bài báo mới của Michel, khảo sát độc đáo khu vực kết nối tính không ổn định với khung lý thuyết số chung, các vấn đề về lý thuyết số từ cuộc thi hải ly bận rộn

— vzn

Câu trả lời:

Một bình luận mở rộng:

Trình tự giống Collatz có thể được tính toán bằng các máy Turing nhỏ có ít biểu tượng và trạng thái. Trong " Máy Turing nhỏ và cạnh tranh hải ly bận rộn " của P. Michel (2004), có một bảng hay đặt các vấn đề giống như Collatz giữa các TM có thể quyết định (trong đó vấn đề tạm dừng có thể quyết định được) và Universal TMs.

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Có những TM tính toán các chuỗi giống Collatz mà tính quyết định vẫn là một vấn đề mở: , và (trong đó là tập hợp của Turing Machine với trạng thái và ký hiệu ). Tôi không biết nếu kết quả đã được chứng minh. $TM(5,2)$ $TM(3,3)$ $TM(2,4)$ $TM(k,l)$ $k$ $l$

Từ sự loại trừ của bài báo:

... Dòng giống Collatz hiện tại đã ở mức thấp nhất có thể, ngoại trừ , nhưng chúng tôi phỏng đoán rằng tất cả các máy trong bộ này có thể được chứng minh là có thể quyết định ... $TM(4,2)$

Xem thêm " Sự phức tạp của các máy Turing phổ dụng nhỏ: một cuộc khảo sát " của D. Woods và T. Neary (2007).

Một ví dụ khác về vấn đề giống Collatz mà vấn đề có thể quyết định là vấn đề mở là hệ thống thẻ của Post: ; để biết phân tích gần đây, hãy xem " Về ranh giới của khả năng thanh toán và không thể giải quyết trong các hệ thống thẻ. Kết quả lý thuyết và thực nghiệm " của L. De Mol (2009). $\mu = 2, v=3,0\rightarrow 00, 1 \rightarrow 1101$

— Marzio De Biasi
nguồn

để bổ sung cho câu trả lời: Conway đã chỉ ra rằng có những chuỗi giống Collatz không thể giải quyết được ams.org/mathscinet-getitem?mr=392904 . tức là một chuỗi giống như collatz có thể tự mô phỏng một máy turing phổ dụng.

— Sasho Nikolov

cám ơn! các khảo sát / kết quả mitchell là rất mát mẻ! Làm rõ fyi trong bảng, một chữ "T" trong một ô cho biết TM (k, l) đã được chứng minh là tồn tại tương đương với phỏng đoán collatz. quan điểm cũng cho thấy rằng phỏng đoán collatz không chỉ đơn thuần là sự tò mò về lý thuyết mà còn có thể là một hiện tượng bề mặt của một cái gì đó sâu sắc hơn trong lý thuyết tính toán. ps cũng rất quan tâm nếu bất kỳ "collatz like problems" nào đã từng được giải quyết ...?

— vzn

$T: \mathbb N \rightarrow \mathbb N$ $T(n)=n/2$ $n$ $T(n)=n+1$ $n$ $n \in \mathbb N$ $k \in \mathbb N$ $T^{(k)}(n)=1$

$T(n)=n+1$ $n$ $T(n)=3n+1$ $n$

— Craig Feinstein
nguồn

Tôi không nghĩ rằng điều này thỏa mãn phần "phức tạp nhất" của câu hỏi, vì một học sinh cấp ba có động lực có thể xác định ý tưởng chính đằng sau bằng chứng tuyên bố của bạn với một chút suy nghĩ.

— Yonatan N

Nhưng nếu nó phức tạp hơn và vẫn được giải quyết, nó sẽ không giống với Giả thuyết Collatz nữa. Hơn nữa, tiêu đề của câu hỏi của anh ấy cho thấy rằng anh ấy ưu tiên "gần nhất" hơn "phức tạp nhất".

— Craig Feinstein