Sự tồn tại của ma trận tô màu

Chỉnh sửa: bây giờ có một câu hỏi tiếp theo liên quan đến bài viết này.

---

Định nghĩa

Đặt và là số nguyên. Chúng tôi sử dụng ký hiệu .k [ i ] = { 1 , 2 , . . . , tôi $c$$k$$[i] = \{1,2,...,i\}$

Một ma trận được gọi là ma trận tô màu -to- nếu sau đây giữ:M = ( m i , j ) c k$c \times c$$M = (m_{i,j})$$c$$k$

• chúng tôi có cho tất cả ,i , j ∈ [ c $m_{i,j} \in [k]$$i, j \in [c]$
• với tất cả với và ta có .i ≠ j j ≠ ℓ m i , j ≠ m j , $i,j,\ell \in [c]$$i \ne j$$j \ne \ell$$m_{i,j} \ne m_{j,\ell}$

Chúng ta viết nếu tồn tại ma trận tô màu c -to- k .$c \leadsto k$$c$$k$

---

Lưu ý rằng các yếu tố đường chéo là không liên quan; chúng tôi chỉ quan tâm đến các yếu tố phi đường chéo của $M$ .

Quan điểm thay thế sau đây có thể hữu ích. Đặt là tập hợp các phần tử không có đường chéo trong hàng và tương tự cho là tập hợp các phần tử không đường chéo trong cột . Bây giờ là ma trận tô màu -to- iff cho tất cả . Nghĩa là, hàng và cột phải bao gồm các phần tử riêng biệt (tất nhiên, ngoại trừ, tại đường chéo).$R(M,\ell) = \{ m_{\ell,i} : i \ne \ell \}$$\ell$$C(M,\ell) = \{ m_{i,\ell} : i \ne \ell \}$$\ell$$M$$c$$k$ℓ ∈ [ c ] ℓ

$$R(M,\ell) \subseteq [k], \quad C(M,\ell) \subseteq [k], \quad R(M,\ell) \cap C(M,\ell) = \emptyset$$ $\ell \in [c]$$\ell$$\ell$

Có thể có hoặc không hữu ích khi cố gắng diễn giải là một loại hàm băm đặc biệt từ đến .[ c ] 2 [ k $M$$[c]^2$$[k]$

Ví dụ

Đây là một -to- màu ma trận:4 [ - 2 2 1 1 1 3 - 3 1 1 1 4 4 - 1 1 1 3 2 2 - 3 2 4 2 2 4 - 2 3 4 3 4 3 - ]$6$$4$

$$\begin{bmatrix} -&2&2&1&1&1\\ 3&-&3&1&1&1\\ 4&4&-&1&1&1\\ 3&2&2&-&3&2\\ 4&2&2&4&-&2\\ 3&4&3&4&3&- \end{bmatrix}.$$

Nói chung, được biết rằng với bất kỳ chúng ta cóVí dụ: và . Để thấy điều này, chúng ta có thể sử dụng cấu trúc sau (ví dụ: Naor & Stockmeyer 1995).( 2 $n \ge 2$20⇝66⇝

$${2n \choose n} \leadsto 2n.$$ $20 \leadsto 6$$6 \leadsto 4$

Đặt và đặt . Đặt là một mệnh đề từ đến tập hợp tất cả con của , nghĩa là, và cho tất cả . Với mỗi với , chọn tùy ý k=2nf[c]n[2n]f(i)⊆[2n]| f(i)| =nii,j∈[c]i≠jmi,j∈f(i)∖f(j)$c = {2n \choose n}$$k = 2n$$f$$[c]$$n$$[2n]$$f(i) \subseteq [2n]$$|f(i)| = n$$i$$i,j \in [c]$$i \ne j$

$$m_{i,j} \in f(i) \setminus f(j).$$

Lưu ý rằng . Thật đơn giản để xác minh rằng việc xây dựng thực sự là một ma trận tô màu; cụ thể, chúng ta có và .R ( M , ℓ ) = f ( ℓ ) C ( M , ℓ ) = [ k ] ∖ f ( ℓ $f(j) \setminus f(i) \ne \emptyset$$R(M,\ell) = f(\ell)$$C(M,\ell) = [k] \setminus f(\ell)$

Câu hỏi

Là xây dựng trên tối ưu? Nói cách khác, chúng ta có cho bất kỳ nào không?n≥

$${2n \choose n} + 1 \leadsto 2n$$ $n \ge 2$

Điều nổi tiếng là việc xây dựng ở trên không chặt chẽ; nhất thiết phải . Điều này theo sau, ví dụ, từ kết quả của Linial (1992) hoặc từ một ứng dụng đơn giản của lý thuyết Ramsey. Nhưng với tôi không rõ liệu việc xây dựng cũng chặt chẽ với hằng số. Một số thí nghiệm bằng số cho thấy rằng việc xây dựng ở trên có thể là tối ưu.$k = \Omega(\log c)$

Động lực

Câu hỏi liên quan đến sự tồn tại của các thuật toán phân tán nhanh để tô màu đồ thị. Ví dụ, giả sử rằng chúng ta được cung cấp một cây có hướng (tất cả các cạnh được định hướng cho một nút gốc) và giả sử rằng chúng ta được cung cấp một màu thích hợp của cây. Bây giờ có một thuật toán phân tán tính toán một màu thích hợp của cây trong vòng giao tiếp đồng bộ khi và chỉ khi .k 1 c ⇝ $c$$k$$1$$c \leadsto k$

Cấu trúc là tối ưu theo nghĩa là không thể giữ được. Trên thực tế, nó rất dễ dàng để thấy rằng c -to- k màu ma trận tồn tại khi và chỉ khi có c tập con A ₁ , ..., Một _c M$\binom{2n}{n}+1 \leadsto n$ của tập {1, ..., k } như vậy mà không phân biệt i và j thỏa mãn Một _tôi ⊆ A _j . (Chỉ dành cho người khác nếu hướng của hướng, hãy lấy A _i = R ( M , i ) cho ma trận tô màu c -to- k . Đối với “nếu” chỉ đạo, bộ m _ij ∈ A _i ∖ Một _j .) Một gia đình của bộ không ai trong số đó có một được gọi là một gia đình Sperner , và nó là lý Sperner rằng số lượng tối đa bộ trong một gia đình Sperner trên vũ trụ có kích thước k là . Điều này ngụ ý rằng . c⇝$\binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$$c \leadsto k \iff c \le \binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$

Đối với một tiệm cận chặt chẽ hơn một chút, có thể chứng minh rằng:

nếu , thì$c \leadsto k$$c \leq 2^k$

Giả sử có một màu của ma trận sử dụng màu. Bây giờ, tô màu mỗi hàng trong ma trận bằng tập hợp các màu hiện có. Điều đó tạo ra màu của các hàng bằng cách sử dụng các tập hợp con của . Các hàng khác nhau phải có màu sắc khác nhau. Mặt khác, giả sử với , hàng có cùng màu với hàng . Điều đó có nghĩa là màu của có ở cả hai hàngk [ k ] i < j i j ( i , j ) j j c ≤ 2 $c \times c$$k$$[k]$$i \lt j$$i$$j$$(i,j)$$j$ và cột trái ngược với thực tế là chúng ta đã bắt đầu bằng một màu. Theo sau đó là$j$$c \leq 2^k$