Một khái quát cân bằng của định lý Hall

Hãy và Y được bộ, và B là một phân vùng của X × Y . Tôi muốn chứng minh rằng tồn tại phân phối D trên X × Y có biên độ đồng nhất trên X và do đó phân phối trên B gây ra bởi D có entropy lớn (phân phối sau được xác định bằng cách gán cho mỗi B ∈ B tổng xác suất khối lượng các phần tử của B theo D ). Chúng ta có thể sử dụng điều kiện sau:$X$$Y$$\mathcal{B}$$X \times Y$$\mathcal{D}$$X \times Y$$X$$\mathcal{B}$$\mathcal{D}$$B∈\mathcal{B}$$B$$\mathcal{D}$

Hãy xem xét các đồ thị hai phía mà hai bên là X và B , chẳng hạn rằng đối với mỗi ( x , y ) ∈ B có một cạnh ( x , B ) trong G (nhiều cạnh có thể). Sau đó, mỗi bộ kích thước của x ít nhất là $G$$X$$\mathcal{B}$$(x,y) \in B$$(x,B)$$G$$x$có ít nhất$\frac{3}{4}|X|$hàng xóm ở G.$\frac{1}{100}|B|$

Tôi sẽ đánh giá cao nếu ai đó có thể giới thiệu cho tôi một định lý có liên quan. Câu hỏi này có thể được xem theo nghĩa là một khái quát của định lý Hall, trong đó điều kiện trên là điều kiện của Hall thư giãn, và thay vì có một kết hợp hoàn hảo, chúng ta có một tập hợp các cạnh có sơ đồ con tương ứng gần như đều đặn.

Bối cảnh : Động lực cho câu hỏi này đến từ sự phức tạp trong giao tiếp. Trong cài đặt độ phức tạp trong giao tiếp, hai người chơi, Alice và Bob, nhận đầu vào và y tương ứng và tương tác để tính toán một số hàm f ( x , y ) . Ở đây, mỗi bộ B ∈ B bao gồm các cặp ( x , y ) mà mang bảng điểm cùng một thông tin liên lạc giữa Alice và Bob, và tôi muốn chứng minh rằng theo một số điều kiện, người ta có thể tìm thấy một bản phân phối trên X × $x$$y$$f(x,y)$$B \in \mathcal{B}$$(x,y)$$X \times Y$ sao cho Alice có được đầu vào phân phối đồng đều và sao cho entropy của bảng điểm dưới phân phối là lớn.

$f$$f$