P có chứa các ngôn ngữ có sự tồn tại độc lập với PA hoặc ZFC không? (Wiki cộng đồng TCS)

Trả lời: không biết.

Các câu hỏi được hỏi là tự nhiên, cởi mở và có vẻ khó khăn; câu hỏi bây giờ là một wiki cộng đồng.

Tổng quat

Câu hỏi tìm cách phân chia các ngôn ngữ thuộc lớp phức tạp  - cùng với các máy Turing quyết định (TM) chấp nhận các ngôn ngữ này - thành hai lớp con bổ sung:$P$

• ngộ đạo ngôn ngữ và TMS (có tính khả thi để xác nhận / hiểu), so với
• ngôn ngữ và TM khó hiểu (không thể xác thực / hiểu).

Định nghĩa: gnory vs số mật mã , TM và ngôn ngữ

Trong các khung tiên đề PA và ZFC , chúng tôi phân biệt gninto với các máy và ngôn ngữ Turing khó hiểu như sau:

D0   Chúng ta nói rằng một tính toán thực số  là ngộ đạo khi và chỉ khi nó được gắn liền với một tập không rỗng của TMS, với mỗi TM quy định tại PA như một danh sách rõ ràng của số gồm mã hợp lệ khi một TM phổ quát, như vậy mà cho bất kỳ chính xác được cung cấp làm đầu vào, mỗi TM có thể chứng minh (trong ZFC) tạm dừng với số đầu ra có thể chứng minh (trong ZFC) thỏa mãn .$r$o r - ε < o < r + $\epsilon\gt0$$o$$r-\epsilon\lt o\lt r+\epsilon$

Lưu ý   Người ta biết rằng một số thực tế có thể tính toán không phải là không biết (ví dụ cụ thể, hãy xem câu trả lời của Raphael Reitzig cho câu hỏi của jkff " Có bằng chứng tồn tại thuật toán không mang tính xây dựng không? "). Để tránh vật lộn với những con số có thể tính toán được nhưng vẫn còn lúng túng này, hạn chế được áp dụng là số mũ thời gian chạy có thể tính toán được bằng các TM được liệt kê rõ ràng trong PA (trái ngược với TM được chỉ định rõ ràng trong ZFC). Để thảo luận thêm, xem phần Xem xét xác định (bên dưới).

Bây giờ chúng tôi tìm kiếm các định nghĩa nắm bắt trực giác rằng lớp phức tạp $P$bao gồm một tập hợp các ngôn ngữ mật mã mà không có thời gian chạy theo cấp số nhân (gnory) nào có thể được gán có thể được gán.

Để nhìn về phía trước, định nghĩa kết luận ( D5 ) chỉ định ý tưởng về một quyết định mã hóa TM kinh điển , mà định nghĩa của nó được tạo ra với mục đích giảm bớt các phép tính (tầm thường) che giấu các tính toán mật mã bằng cách phủ lên các tính toán epi siêu tính toán. Cơ sở lý luận và nguồn của định nghĩa chính này sẽ được thảo luận sau - dưới tiêu đề Xem xét xác định  - và những đóng góp của các bình luận của Timothy Chow, Peter Shor, Sasho Nikolov và Luca Trevisan được ghi nhận một cách biết ơn.

D1   Cho một máy Turing M dừng lại cho tất cả các chuỗi đầu vào, M được gọi là mật mã iff, câu lệnh sau đây không thể chứng minh cũng không thể bác bỏ đối với ít nhất một số thực không xác định  :$r \ge 0$

Tuyên bố: Thời gian chạy của M là đối với độ dài đầu vào ${O}(n^r)$$n$

Các máy Turing không phải là mật mã mà chúng tôi nói là các TM không chuyên.

D2   Chúng tôi nói rằng một quyết định Máy Turing M có hiệu quả nếu nó có số mũ thời gian chạy theo tỷ lệ  sao cho ngôn ngữ L mà M chấp nhận được chấp nhận bởi không có TM nào khác có thời gian chạy theo số mũ nhỏ hơn  r .$r$$r$

D3   Chúng tôi nói rằng một ngôn ngữ L là mật mã, nó được chấp nhận bởi (a)  ít nhất một máy Turing M vừa hiệu quả vừa khó hiểu, và hơn nữa (b)  không có TM nào hiệu quả và không thể chấp nhận được.

Để diễn đạt D3 theo một cách khác, một ngôn ngữ là mật mã nếu các TM chấp nhận ngôn ngữ đó một cách hiệu quả nhất chính là mật mã.

Ngôn ngữ mà không phải là khó hiểu chúng ta nói là ngộ đạo ngôn ngữ.

D4   Chúng tôi nói rằng một TM mật mã rất khó hiểu về ngôn ngữ mà ngôn ngữ mà nó chấp nhận là khó hiểu.

D5   Chúng tôi nói rằng một TM mã hóa mạnh là mật mã kinh điển nếu nó hiệu quả.

Để diễn đạt D5 theo cách khác, mọi ngôn ngữ mật mã được chấp nhận bởi một tập hợp các TM quyết định mật mã, đó là các TM quyết định hiệu quả nhất chấp nhận ngôn ngữ đó.

Những câu hỏi được hỏi

Giả thuyết sau đây C0 là tự nhiên và (dường như) mở:

C0   Lớp phức tạp P chứa ít nhất một ngôn ngữ khó hiểu.

Ba câu hỏi được đặt ra, Q1 - Q3 , trong đó câu hỏi đầu tiên là:

Q1   Là C0 phỏng đoán độc lập của PA hoặc ZFC?

Theo giả định rằng C0 là đúng - có thể chứng minh được trong ZFC hoặc là một tiên đề độc lập bổ sung cho ZFC - hai câu hỏi nữa là tự nhiên:

Câu 2   Có thể trình bày cụ thể ít nhất một ngôn ngữ khó hiểu trong P , nghĩa là, được trưng bày như một từ điển các từ rõ ràng trong một bảng chữ cái hữu hạn bao gồm tất cả các từ có độ dài xác định? Nếu vậy, trưng bày một từ điển như vậy.

Câu hỏi 3   Có thể trình bày cụ thể ít nhất một quyết định mật mã TM, như là một mô tả cho phép xây dựng một máy Turing vật lý quyết định (trong thời gian đa thức) tất cả các từ trong từ điển của Q2 ? Nếu vậy, xây dựng một máy Turing như vậy và bằng cách tính toán với nó, trưng bày từ điển ngôn ngữ khó hiểu của Q2 .

Cân nhắc xác định

Định nghĩa D0 ngụ ý rằng mọi số thực gnory đều có thể tính toán được, nhưng người ta biết rằng một số số thực có thể tính toán không phải là giả thuyết . Ví dụ: xem câu trả lời trên MathOverflow của Michaël Cadilhac và Ryan Williams và trên TCS StackExchange của Raphael Reitzig . Tổng quát hơn, các định nghĩa D0 Gian D5 được tạo ra để loại trừ các tham chiếu đến các số mũ thời gian chạy không theo thuyết.

Như đã thảo luận trong wiki TCS " P có chứa ngôn ngữ không thể hiểu được không? ", Các định nghĩa D0 miếng D5 đảm bảo rằng mọi ngôn ngữ mật mã được chấp nhận bởi ít nhất một TM có mật mã chính tắc. (Cũng lưu ý rằng trong câu hỏi hiện tại, từ "khó hiểu" thay thế từ ít mô tả "không thể hiểu" được sử dụng trong wiki).

Hơn nữa - theo quan điểm của D3 (a) và D3 (b)  - không tồn tại sự giảm thiểu tầm thường về mặt tính toán của một loại tiền điện tử kinh điển đối với một TM không biết có thể nhận ra cùng một ngôn ngữ. Đặc biệt, D3 (a) và D3 (b) cản trở polylimiter chiến lược giảm được nêu trong ý kiến của Peter Shor , và bởi Sasho Nikolov , và độc lập bởi Luca Trevisan , và cản trở quá các đa thức tốc độ chiến lược giảm Timothy Chow , tất cả trong đó tương tự che giấu các tính toán mật mã bằng cách phủ lên một tính toán epi siêu tính toán .

Nói chung, các định nghĩa về "gninto" và "mật mã" được điều chỉnh một cách có chủ ý để có thể mạnh mẽ đối với việc giảm thiểu tầm thường về mặt toán học (và hoàn toàn có thể điều chỉnh thêm các định nghĩa này có thể được mong muốn).

Cân nhắc phương pháp luận

Đánh giá của Lance Fortnow " Tình trạng của vấn đề P so với NP " khảo sát các phương pháp để thiết lập tính độc lập (hay nói cách khác) của các phỏng đoán trong lý thuyết phức tạp; đặc biệt mong muốn là những gợi ý về cách các phương pháp mà Lance đánh giá có thể giúp (hoặc không) trả lời Q1 .

Rõ ràng là nhiều câu hỏi tiếp theo là tự nhiên. Ví dụ, phỏng đoán của Hartmanis-Stearns truyền cảm hứng cho chúng ta để hỏi "Liệu máy Turing đa nhiệm thời gian thực có tồn tại không? Sự tồn tại của chúng (hoặc không) độc lập với PA hay ZFC?"

Cân nhắc kiểu Zeilberger

Trong trường hợp Q1 được trả lời bằng "có", thì các nhà tiên tri quyết định tư cách thành viên của tồn tại bên ngoài PA hoặc ZFC, và do đó, một yếu tố thiết yếu của lý thuyết phức tạp hiện đại là (hiện tại) không tồn tại trong bất kỳ hệ thống chính thức nào của Hợp lý. $P$

Về mặt này, lý thuyết phức tạp khác biệt với hầu hết các ngành toán học, do đó, sự e ngại mà Doron Zeilberger thể hiện trong " Ý kiến ​​125: Bây giờ Alan Turing đã tròn 100 tuổi, đã đến lúc có một cái nhìn mới mẻ về những đóng góp tinh thần của ông , điều đó đã làm rất nhiều điều tốt nhưng cũng rất nhiều tác hại "được cho là có cơ sở.

Mối quan tâm Zeilberger hãy hình thức rõ ràng như tiêu chí Z0    (! Q1  ) && (! C0  ), tương đương với các tiêu chí sau:$\equiv$

Z0:   Tiêu chí về tính nhạy cảm của Zeilberger Các   định nghĩa về lớp phức tạp P   được gọi là Zeilberger có thể hiểu được tất cả các ngôn ngữ trong P đều có thể chứng minh được.

Hiện tại vẫn chưa biết định nghĩa của Stephen Cook về lớp phức tạp P   có phải là Zeilberger hay không.

Cân nhắc động lực

Các định nghĩa của "gninto" và "mật mã" được tạo ra với quan điểm về (cuối cùng) quyết định các phỏng đoán như sau:

C1   Hãy và N P ' là hạn chế ngộ đạo của P và N P resp. Sau đó, P ' ≠ N P ' là một trong hai chứng minh hoặc biện bác trong PA hoặc ZFC.$P'$$NP'$$P$$NP$$P' \ne NP'$

C2   (như chứng minh một cách rõ ràng trong PA hoặc ZFC)$P' \ne NP'$

Rõ ràng là C2   C1 và ngược lại, có thể hình dung rằng một bằng chứng về định lý (meta) C1 có thể cung cấp hướng dẫn về một bằng chứng của định lý C2 (mạnh hơn) .$\to$ 

Động lực chung là sự kỳ vọng / trực giác / hy vọng rằng đối với một số khác biệt được điều chỉnh tốt giữa các ngôn ngữ và ngôn ngữ học và ngôn ngữ học, một bằng chứng về C1 và thậm chí có thể là C2 - có thể có ý nghĩa thực tế tương đương với - khó hơn và sâu hơn bằng chứng cho thấy . $P\ne NP$

Juris Hartmanis là một trong những nhà lý thuyết phức tạp đầu tiên nghiêm túc theo đuổi dòng điều tra này; xem ví dụ về tính toán khả thi và tính chất phức tạp có thể chứng minh được của Hartmanis (1978).

Cân nhắc danh pháp

Từ Từ điển tiếng Anh Oxford (OED), chúng ta có:

• gninto (adj)  Liên quan đến kiến ​​thức; nhận thức; trí tuệ   "Họ [những con số] tồn tại một cách sống còn, không biết suy đoán và đầu cơ, nhưng không phải là một cách thức hoạt động."

• mật mã (adj)  Không thể hiểu ngay lập tức; bí ẩn, bí ẩn   "Thay vì các quy tắc đơn giản hữu ích cho nhân loại, họ [các nhà triết học] coi thường tội ác và những câu tối."

Rõ ràng trước đây không có Đánh giá toán học nào đã sử dụng từ "gninto" trong bất kỳ ý nghĩa nào. Tuy nhiên, sự chú ý được dành cho bài báo gần đây của Marcus Kracht, Gn Gnosis ( Tạp chí Logic triết học , MR2802332), sử dụng ý nghĩa OED.

Rõ ràng không có Đánh giá toán học nào đã sử dụng từ "khó hiểu" - theo nghĩa kỹ thuật của nó - liên quan đến lý thuyết phức tạp. Tuy nhiên, sự chú ý được dành cho bài viết " Độ sâu logic và độ phức tạp vật lý " của Charles H. Bennett (trong The Turing Machine: Một cuộc khảo sát nửa thế kỷ , 1988) có đoạn văn

Một loại phức tạp khác liên quan đến một đối tượng sẽ là khó khăn, đưa ra đối tượng, trong việc tìm ra một giả thuyết hợp lý để giải thích nó. Các đối tượng có loại phức tạp này có thể được gọi là "mật mã" : để tìm nguồn gốc hợp lý cho đối tượng giống như giải mật mã.

Cân nhắc về sự tự nhiên, cởi mở và khó khăn

Tính tự nhiên của những câu hỏi này minh họa cho luận điểm của chuyên khảo tính toán khả thi của Juris Hartmanis và tính chất phức tạp có thể chứng minh được (1978) rằng:

"Kết quả về sự phức tạp của các thuật toán thay đổi hoàn toàn nếu chúng ta chỉ xem xét các thuộc tính của các tính toán có thể được chứng minh chính thức."

Sự cởi mở và khó khăn của những câu hỏi này là phụ âm rộng rãi với kết luận của bài đánh giá của Lance Fortnow " Tình trạng của vấn đề NP Versus " (2009) rằng:

"Không ai trong chúng tôi thực sự hiểu vấn đề P so với NP, chúng tôi mới chỉ bắt đầu bóc lớp xung quanh câu hỏi ngày càng phức tạp này."

Hướng dẫn Wiki

Đặc biệt được tìm kiếm là các điều chỉnh xác định và các chiến lược chứng minh liên quan cụ thể đến các câu hỏi Q1, Q3 và chiếu sáng rộng rãi các phỏng đoán kiểu Hartmanis C1 [C2 .

Tôi nghĩ rằng có một khó khăn cơ bản tiềm ẩn với câu hỏi bạn đang hỏi ở đây (và rằng bạn đã hỏi trong câu hỏi liên quan của mình về các ngôn ngữ không thể hiểu được).

Nói một cách đơn giản, có vẻ như bạn đang tìm kiếm một ngôn ngữ sao cho$L$

nhưng ZFC không biết rằng L ∈ P .$L\in P$$L\in P$

Để hiểu được những khó khăn với câu hỏi của bạn, tôi nghĩ trước tiên bạn phải hiểu rằng có một sự khác biệt cơ bản giữa intensional và extensional định nghĩa của một ngôn ngữ . Extensionally, L được xác định bởi những gì lời nói hoặc không thành viên của L . Đó là, hai ngôn ngữ L và L ' là extensionally bằng khi và chỉ khi họ có chứa chính xác những lời tương tự như các thành viên. Ngược lại, một intensional định nghĩa của L mô tả một số điều kiện cho một từ là trong L . Một máy Turing chấp nhận $L$$L$$L$$L$$L'$$L$$L$$L$, Hoặc một bậc công thức chứa khi và chỉ khi x ∈ L , có thể được coi như là một định nghĩa intensional của L .$\phi(x)$$x\in L$$L$

Vấn đề là mọi được (mở rộng) trong P đều thừa nhận một mô tả cực kỳ đơn giản, bởi vì P là một lớp phức tạp được gọi là "cú pháp". Cụ thể, chỉ cần lấy một máy Turing có đồng hồ đa thức , chấm dứt chính xác lượng thời gian mong muốn. Bất kỳ hệ thống "hợp lý" để làm toán học, chẳng hạn như PA hoặc ZFC, đang xảy ra để có thể chứng minh rằng L ∈ P nếu bạn sử dụng mô tả đơn giản này của L .$L$$P$$P$$L\in P$$L$

Vì vậy, nếu bạn muốn để gây nhầm lẫn ZFC, bạn sẽ phải đưa ra một số (intensional) mô tả về mà là "quá phức tạp" cho ZFC nhận là tương đương với sự mô tả đơn giản của L . Điều này là có thể, nhưng trong một số ý nghĩa, nó quá dễ để trở nên thú vị. Tất cả những gì bạn phải làm là lấy thứ gì đó mà chúng ta biết rằng ZFC không hiểu (ví dụ, tính nhất quán của chính nó) và trộn nó với định nghĩa của L bằng cách nào đó. Ví dụ: đây là mô tả về một bộ số nguyên:$L$$L$$L$

chẵn và x không mã hóa bằng chứng cho thấy ZFC không nhất quán.$x$$x$

Giả sử ZFC là nhất quán, công thức trên xác định tập hợp các số nguyên chẵn, nhưng ZFC không biết điều đó. Với một chút mày mò hơn, chúng ta có thể dễ dàng có được một mô tả của tập các số nguyên thậm chí là ZFC sẽ không thể để chứng minh là trong .$P$

Kết quả cuối cùng là nếu bạn hy vọng rằng lý do thật khó để chứng minh rằng là có những ngôn ngữ trong P "quá phức tạp" để chúng ta suy luận, thì tôi nghĩ bạn đang sủa sai cây. Ngoài ra, mọi ngôn ngữ trong P đều bằng P vì những lý do tầm thường. Bạn có thể làm vấy bẩn vùng biển bằng cách chơi xung quanh với các mô tả không rõ ràng về ngôn ngữ trong P , nhưng đây là một mẹo chung không liên quan gì đến P nói riêng, vì vậy tôi không nghĩ rằng nó mang lại nhiều hiểu biết.$P\ne NP$$P$$P$$P$$P$$P$

Q1: $\:$Không có
quý 2:$\:$ Có, ít nhất hai-1-trong-nhị phân

Bổ đề: $\:$ Mỗi TM có số mũ thời gian chạy tính toán có ít nhất 1 là siêu việt.

Chứng minh:
Đặt A và B là các tập đệ quy không thể tách rời .$\:$$M_0$$\:$$M_1$$\;\;$$\langle r_0,r_1,r_2,r_3,...\rangle$$M_0$$M_1$$r_m$$\:m\in A\:$ thì tuyên bố của D1 là đúng] và [nếu $\:m\in B\:$ thì tuyên bố của D1 là sai]. $\;\;$$\langle r_0,r_1,r_2,r_3,...\rangle$$r_m$$\:$Do đó máy Turing là siêu việt.


Định nghĩa:
ít nhất hai-1-in-binary là tập hợp các số nguyên không âm có
biểu diễn nhị phân có ít nhất hai 1s.$\:$ (đặt cược bạn sẽ không bao giờ đoán được ^ _ ^)

Định nghĩa:
M là máy Turing quét biểu diễn nhị phân của
đầu vào, chấp nhận nếu nó tìm thấy ít nhất hai 1 giây và từ chối khác.

Rõ ràng, M quyết định ít nhất hai-1-giây-nhị phân và có số mũ thời gian chạy 1, và không có máy Turing nào khác có số mũ thời gian chạy nhỏ hơn cũng quyết định ít nhất hai-1-giây-nhị phân.
Tầm thường$\: 1\leq 1 \:$$1$$\;\;$Theo bổ đề, M là hiệu quả và siêu việt.
Những trung bình này ít nhất là hai-1-trong-nhị phân cũng siêu việt.

Do đó TPCCC là một định lý của PA (và ZFC), và
ít nhất hai-1-in-binary là một ngôn ngữ siêu việt cụ thể.

$x_n := 2 + \sum_{i=0}^n [1/2^i \mbox{ if $i$ encodes a proof that $\bf{ZF}$ is inconsistent, and 0 otherwise}]$$n$$x_n$$x_n$$x := 2 + \sum_{i=0}^\infty [1/2^i \mbox{ if $i$ encodes a proof that $\bf{ZF}$ is inconsistent, and 0 otherwise}]$

$x$$\bf{ZF}$

$x > 1$$M'_x$$n$$N$$s$$N$$s$$|s|^x/\log(|s|)$$x$$M_x$$M'_x$$M_x$$M_x$$\mathcal O(|s|^y)$$y\ge x$$M_x$

$x$$M_x$$\mathcal O(|s|^2)$$x = 2$$\bf{ZF}$$\bf ZF$$\bf ZF$$M_x$$\bf ZF + Con(\bf ZF)$

$\bf ZF + \not Con(\bf ZF)$$\bf P$$\bf ZF$$\mathcal O(|s|^z)$$z$$\bf ZF$

$M_x$