Tạo đồ thị của chu vi sao cho các chu kỳ tối thiểu tạo thành một nắp hai cạnh

Đặt . Tôi cần phải tạo ra các đồ thị đơn giản của chu vi như vậy mà tập tất cả các -cycles hình thức một lợi thế cạnh bìa đôi của (có nghĩa là, mỗi cạnh được chia sẻ bởi chính xác hai -cycles), và như vậy mà các ngã tư của bất kỳ hai Motorcycle là một đỉnh, một cạnh hoặc trống rỗng. Các biểu đồ được tạo nên lớn tùy ý.G g g G g $g\geq 3$$G$$g$$g$$G$$g$$g$

Phương pháp tạo nên có một số ngẫu nhiên với nó, nhưng không phải trong một ý nghĩa tầm thường. Tôi muốn có thể có được các biểu đồ khá phức tạp. Ví dụ, hãy tưởng tượng một lưới hình chữ nhật trong mặt phẳng. Nếu chúng ta xác định các cạnh đối diện của hình chữ nhật giới hạn, chúng ta sẽ có được một biểu đồ thỏa mãn tất cả các yêu cầu trên cho . Tôi sẽ đủ điều kiện biểu đồ này là đơn giản.g = $n\times m$$g=4$

Có phương pháp nào như vậy không?

Bất kỳ tài liệu tham khảo cho các vấn đề tương tự cũng được đánh giá cao.

Ý tưởng nửa nướng của tôi là một chút quá tham vọng. Tôi bao gồm nó bên dưới để tham khảo, nhưng điều kiện khoảng cách tôi chỉ định không thực sự đủ để đảm bảo đường kính lớn.

Có các bản đồ bề mặt đối xứng cao lớn tùy ý với đường kính lớn, nhưng bằng chứng tồn tại được công bố chủ yếu dựa trên lý thuyết nhóm chứ không phải cấu trúc liên kết hoặc hình học mỗi se.

Cụ thể, với mọi số nguyên , và sao cho , có một bản đồ bề mặt thông thường trong đó mọi mặt đều có cạnh , mọi đỉnh đều có độ và mọi không hợp đồng chu kỳ trên bề mặt vượt qua ít nhất cạnh. Ở đây "chính quy" có nghĩa là cả hai đỉnh đều có cùng một mức độ và đối với bất kỳ cặp cạnh có hướng nào, có một sự tự động hóa của việc nhúng gửi cạnh có hướng khác. Đặt đủ lớn trong cấu trúc này đảm bảo rằng đường kính của đồ thị là . Xem, ví dụ:d r 1 / g + 1 / d < 1 / 2 g d r r $g$$d$$r$$1/g + 1/d < 1/2$$g$$d$$r$$r$$g$

• Roman Nedela và Martin koviera. Bản đồ thường xuyên trên các bề mặt với chiều rộng phẳng lớn. Châu Âu J. Combinatorics 22 (2): 243--262, 2001.

• Jozef Širáň. Biểu diễn nhóm tam giác và các công trình của bản đồ thông thường. Proc. Toán London. Sóc. 82 (3): 513-532, 2001.

Khi bạn có một bản đồ bề mặt như vậy, các bản đồ lớn hơn có cùng đường kính và độ có thể được tạo bằng cách xây dựng các không gian che phủ.

Đây là một cách (nửa nướng) để tạo các biểu đồ như vậy. Đặt là đồ thị mặt phẳng với các thuộc tính sau:$G$

• Mỗi mặt giới hạn của có cạnh chính xác .$G$$g$

• Mặt ngoài của có số cạnh chẵn; gọi những sự cạnh ranh giới của . (Điều kiện này tự động giữ khi chẵn; nếu là số lẻ, phải có số lượng các mặt chẵn.)G g g $G$$G$$g$$g$$G$

• Có thể ghép các cạnh biên của , sao cho khoảng cách trong từ bất kỳ cạnh biên nào đến đối tác của nó ít nhất là . Điều kiện này không thực sự đủ; điều kiện chính xác cần thiết ở đây là không rõ ràng.G g$G$$G$$g$

Đồ thị mặt phẳng lớn tùy ý với các tính chất này có thể được xây dựng bằng cách lấy một phần hữu hạn đủ lớn của một lát phẳng thông thường của mặt phẳng hyperbol bằng gons$g$ .

Cuối cùng, để có được đồ thị bề mặt trong đó mọi mặt có độ dài , xác định các cặp cạnh biên trong theo cách ghép nối được mô tả ở trên. Các mặt giới hạn của trở thành các mặt của tế bào nhúng trên một số bề mặt kín không có ranh giới. Điều kiện khoảng cách trên ghép nối đảm bảo rằng đường kính của là  . g G G G ' G '$G'$$g$$G$$G$$G'$$G'$$g$

Bằng cách chọn cả và ghép cẩn thận hơn, một lần có thể xây dựng các đồ thị - thông thường lớn tùy ý thỏa mãn điều kiện chu vi của bạn, cho mọi số nguyên và sao cho . Ngay cả trong những hạn chế này, việc xây dựng có rất nhiều mức độ tự do.d d g 1 / d + 1 / g < 1 /$G$$d$$d$$g$$1/d + 1/g < 1/2$