Sai lệch của đa thức ngẫu nhiên với mức độ thấp so với GF (2) là gì?

Tôi có một câu hỏi liên quan đến đa thức bậc thấp và xác suất: Xác suất (hành vi giả định của) xác suất là một đa thức * ngẫu nhiên, , trên GF (2), với các biến bậc và n có .$p$$\le d$$bias(p) \triangleq |\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=0)-\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=1)| \gt \epsilon$

* Khi tôi viết đa thức ngẫu nhiên với các biến bậc $\le d$ và n, bạn có thể nghĩ về mỗi đơn thức của tổng độ $\le d$ được chọn với xác suất 1/2.

Điều duy nhất có liên quan mà tôi biết là một biến thể của Schwartz-Zippel nói rằng nếu đa thức là không quan trọng thì độ lệch của nó nhiều nhất là $1-2^{1-d}$ . Do đó, với $\epsilon=1-2^{1-d}$ thì độ chính xác là 1 / {2 ^ {{n \ select 1} + \ ldots + {n \ select d}}}$1/{2^{{n \choose 1}+\ldots+{n \choose d}}}$ trong đó đây là xác suất mà $p$ là một hằng số. Thật không may, $\epsilon$ này khá lớn.

Bài viết "Đa thức mức độ thấp ngẫu nhiên rất khó gần đúng" của Ben-Eliezer, Hod và Lovett trả lời câu hỏi của bạn. Chúng cho thấy các giới hạn mạnh mẽ về mối tương quan của đa thức ngẫu nhiên độ $d$ với đa thức bậc nhất ở mức $d-1$ , bằng cách phân tích độ lệch của đa thức ngẫu nhiên. Xem họ Bổ đề 2: sự thiên vị của một ngẫu nhiên degree- $d$ đa thức (lên đến một số $d$ đó là tuyến tính trong $n$ ) là nhiều nhất là $2^{-\Omega(n / d)}$ , ngoại trừ với xác suất $2^{-\Omega\Big(\binom{n}{\le d}\Big)}$ .

Câu hỏi của bạn tương đương với giới hạn về phân bổ trọng lượng của mã Reed-Muller. Hiểu phân phối trọng lượng của mã Reed-Muller là một câu hỏi cũ và đầy thách thức trong lý thuyết mã hóa, và một số kết quả thú vị được biết về nó (phân phối trọng lượng hoàn toàn chỉ được hiểu cho và ). Là một điểm khởi đầu tuyệt vời, hãy xem "Phân phối trọng lượng và kích thước giải mã danh sách của mã sậy-Muller" của Tali Kaufman, Shachar Lovett, Ely porat và các tài liệu tham khảo trong đó.$d=1$$d=2$