Độ phức tạp tính toán của phép nhân ma trận

Tôi đang tìm kiếm thông tin về độ phức tạp tính toán của phép nhân ma trận của ma trận hình chữ nhật. Wikipedia nói rằng độ phức tạp của phép nhân với B ∈ R n × p là (phép nhân sách giáo khoa).$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$$B \in \mathbb{R}^{n \times p}$$O(mnp)$

Tôi có một trường hợp và$m$ nhỏ hơn p và tôi hy vọng sẽ có độ phức tạp tốt hơn tuyến tính trong p , về chi phí làm cho sự phụ thuộc vào m và n tồi tệ hơn tuyến tính.$n$$p$$p$$m$$n$

Có ý kiến ​​gì không?

Cảm ơn.

Lưu ý: lý do tôi hy vọng điều đó có thể là do kết quả nổi tiếng của sự phụ thuộc ít hơn khối trong nếu m = n = p (khi ma trận là tất cả các hình vuông).$p$$m=n=p$

Công trình cổ điển của Coppersmith cho thấy với một số , người ta có thể nhân một ma trận n × n α với ma trận n α × n trong các phép toán số học ˜ O ( n 2 ) . Đây là một thành phần quan trọng trong kết quả nổi tiếng gần đây của Ryan Williams.$\alpha > 0$$n \times n^\alpha$$n^\alpha \times n$$\tilde{O}(n^2)$

Gần đây, François le Gall đã cải thiện công việc của Coppersmith và bài báo của anh ấy đã được chấp nhận cho FOCS 2012. Để hiểu công việc này, bạn sẽ cần một số kiến ​​thức về lý thuyết phức tạp đại số. Bài viết của Virginia Williams chứa một số gợi ý liên quan. Cụ thể, công trình của Coppersmith được mô tả hoàn toàn trong Lý thuyết phức tạp đại số , cuốn sách.

Một chuỗi công việc khác tập trung vào nhân ma trận xấp xỉ . Bạn có thể kiểm tra tác phẩm này của Magen và Zouzias. Điều này rất hữu ích để xử lý các ma trận thực sự lớn, giả sử nhân một ma trận và ma trận N × n , trong đó N ≫ n .$n \times N$$N \times n$$N \gg n$

Cách tiếp cận cơ bản là lấy mẫu các ma trận (điều này tương ứng với việc giảm kích thước ngẫu nhiên) và nhân các ma trận được lấy mẫu nhỏ hơn nhiều. Bí quyết là tìm ra khi nào và theo nghĩa nào thì điều này mang lại một xấp xỉ tốt. Trái ngược với chuỗi công việc trước đây hoàn toàn không thực tế, các thuật toán lấy mẫu là thực tế và thậm chí cần thiết để xử lý một lượng lớn dữ liệu.