Mức độ gần đúng của

EDIT (v2): Đã thêm một phần ở cuối về những gì tôi biết về vấn đề.

EDIT (v3): Đã thêm thảo luận về mức độ ngưỡng ở cuối.

Câu hỏi

Câu hỏi này chủ yếu là một yêu cầu tham khảo. Tôi không biết nhiều về vấn đề này. Tôi muốn biết nếu đã có công việc trước đây về vấn đề này, và nếu vậy, ai đó có thể chỉ cho tôi bất kỳ bài báo nào nói về vấn đề này không? Tôi cũng muốn biết các giới hạn tốt nhất hiện tại về mức độ gần đúng của . Bất kỳ thông tin nào khác cũng sẽ được đánh giá cao (ví dụ, thông tin lịch sử, động lực, mối quan hệ với các vấn đề khác, v.v.). $\textrm{AC}^0$

Định nghĩa

Đặt là hàm Boolean. Đặt là một đa thức trên các biến thành với các hệ số thực. Mức độ của một đa thức là mức độ tối đa trên tất cả các đơn thức. Mức độ của một đơn thức là tổng số mũ của các khác nhau xuất hiện trong đơn thức đó. Ví dụ: . $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $p$ $x_1$ $x_n$ $x_i$ $\textrm{deg}(x_1^7x_3^2) = 9$

Một đa thức được gọi là -approximate if cho tất cả . Mức độ -approximate của hàm Boolean , ký hiệu là , là mức độ tối thiểu của đa thức mà -appro xấp xỉ . Đối với một tập hợp các chức năng, , là mức độ tối thiểu như vậy mà mỗi hàm trong có thể -approximated bởi một đa thức bậc nhất $p$ $\epsilon$ $f$ $|f(x)-p(x)|<\epsilon$ $x$ $\epsilon$ $f$ $\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(f)$ $\epsilon$ $f$ $F$ $\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(F)$ $d$ $F$ $\epsilon$ $d$ .

Lưu ý rằng mọi hàm có thể được biểu diễn không có lỗi bằng đa thức bậc . Một số hàm thực sự cần một đa thức bậc để xấp xỉ với bất kỳ lỗi không đổi. Parity là một ví dụ về chức năng như vậy. $n$ $n$

Báo cáo vấn đề

Là gì ? (Hằng số 1/3 là tùy ý.) $\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$

Ghi chú

Tôi đã gặp vấn đề này trong bài báo Độ phức tạp truy vấn lượng tử của AC0 của Paul Beame và Widad Machmouchi. Họ nói

Ngoài ra, kết quả của chúng tôi không làm gì để thu hẹp khoảng cách ở giới hạn dưới về mức độ gần đúng của các hàm AC0.

Họ cũng đề cập đến "vấn đề về mức độ gần đúng của AC0" trong các xác nhận của họ.

Vì vậy, tôi cho rằng đã có một số công việc về vấn đề này trước đây? Ai đó có thể chỉ cho tôi một bài báo nói về vấn đề này không? Và giới hạn trên và dưới được biết đến nhiều nhất là gì?

Những gì tôi biết về vấn đề (Phần này đã được thêm vào v2 của câu hỏi)

Giới hạn trên được biết đến nhiều nhất trên được biết là giới hạn trên tầm thường . Giới hạn dưới tốt nhất mà tôi biết đến từ Aaronson và giới hạn dưới của Shi đối với các vấn đề khác biệt về va chạm và yếu tố, tạo ra giới hạn dưới của . (Đối với các phiên bản bị giới hạn nghiêm ngặt của , như các công thức có kích thước công thức hoặc mạch độ sâu 2 với các cổng , chúng ta có thể chứng minh giới hạn trên của sử dụng độ phức tạp truy vấn lượng tử.) $\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$ $n$ $\tilde{\Omega}(n^{2/3})$ $\textrm{AC}^0$ $o(n^2)$ $o(n^2)$ $o(n)$

Liên quan: mức độ ngưỡng (Đã thêm vào v3)

Như Tsuyoshi chỉ ra trong các bình luận, vấn đề này liên quan đến vấn đề xác định mức độ ngưỡng của . Độ ngưỡng của hàm là mức độ tối thiểu của một đa thức sao cho và . $\textrm{AC}^0$ $f$ $p$ $f(x)=1 \implies p(x)>0$ $f(x)=0 \implies p(x)<0$

Giới hạn dưới cho mức độ hiện đã được Sherstov cải thiện. Anh ta thể hiện một họ các công thức đọc một lần có độ sâu không đổi trên biến có mức độ ngưỡng tiếp cận khi độ sâu đi đến vô cùng, gần như chặt chẽ vì các công thức đọc một lần có ngưỡng (và thậm chí gần đúng ) độ . Xem http://eccc.hpi-web.de/report/2014/009/ . (Tháng 1 năm 2014) $\mathrm{AC}^0$ $n$ $\Omega(\sqrt{n})$ $O(\sqrt{n})$

— Robin Kothari
nguồn

Giới hạn dưới (n ^ (1/3)) được biết đến ngay cả mức độ ngưỡng (mức tối thiểu của một đa thức p sao cho f (x) = 1 ⇒ p (x)> 0 và f (x) = 0 p (x) <0). Xem phần cuối của phần 3.1 của Giới hạn truyền thông trên mạng bằng cách sử dụng đa thức kép của Sherstov .

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: Cảm ơn. Mức ngưỡng (giới hạn dưới mức gần đúng) của AC0 cũng là một câu hỏi thú vị. Các giới hạn dưới tốt nhất mà tôi biết về mức độ ngưỡng của AC0 là trong các giới hạn mức độ mới cho các hàm ngưỡng đa thức của O'Donnell và Servedio. Giới hạn dưới tốt hơn (n ^ (1/3)) bởi hệ số log tăng theo độ sâu của mạch.

— Robin Kothari

Rất tiếc, bạn đã đúng, bị ràng buộc thấp hơn về mức độ gần đúng cho AC0 là hiển nhiên từ Aaronson và Shi. Tôi ngớ ngẩn quá. Cảm ơn con trỏ đến O'Donnell và Servedio, quá.

\tilde{Ω} (n^{2 / 3})

$\tilde{\Omega}(n^{2/3})$

— Tsuyoshi Ito

Một bài báo gần đây của Mark Bun và Justin Thaler có tiêu đề "Sự khuếch đại độ cứng và mức độ gần đúng của mạch không đổi độ sâu" cũng thảo luận ngắn gọn về vấn đề này. Họ nói rằng giới hạn dưới của Aaronson và Shi là giới hạn dưới được biết đến nhiều nhất cho một hàm trong AC <sup> 0 </ sup> và ràng buộc thấp hơn thậm chí giữ trong một mô hình tổng quát hơn một chút.

— Robin Kothari

Một bài báo của Mark Bun và Justin Thaler đã được đăng trên ECCC rất gần đây (giữa tháng 3 năm 2017) trả lời chính xác câu hỏi này: "Giới hạn gần như tối ưu về mức độ gần đúng của AC0"

$\delta > 0$ $f$ $\mathrm{AC}^0$ $\widetilde{\mathrm{deg}}_{1/3}(f) = \Omega(n^{1-\delta})$ $O(n)$

$f$ $d$ $F$ $O(n \cdot \mathrm{polylog}(n))$ $D = Ω(n^{1/3} · d^{2/3} )$ $d = n^{1−Ω(1)}$ $D$ $d$ $f$ $F$

Đó là bản cập nhật gần đây nhất ở phần dưới của vấn đề này và đây là một bước tiến đáng kể. Phần Giới thiệu và Ứng dụng của bài viết cũng là nguồn tài liệu tham khảo tốt cho các công việc trước đây và các vấn đề liên quan.

Tuyên bố miễn trừ trách nhiệm: Tôi chưa đọc kỹ bài báo.

— AN
nguồn

Thật vậy, điều này gần như đóng cửa vấn đề. Họ cũng hiển thị một DNF có kích thước quasipolynomial với mức độ gần đúng .

Ω (n^{1 - δ})

$\Omega(n^{1-\delta})$

— Robin Kothari