Năng lực của câu đố có thể giải được duy nhất (USP)

Trong bài báo chuyên đề Các thuật toán lý thuyết nhóm cho phép nhân ma trận , Cohn, Kleinberg, Szegedy và Umans đưa ra khái niệm về câu đố có thể giải được duy nhất (được định nghĩa dưới đây) và khả năng USP. Họ cho rằng Coppersmith và Winograd, trong bài báo mang tính đột phá của mình Matrix nhân qua cấp số cộng , "ngầm" chứng minh rằng khả năng USP là $3/2^{2/3}$ . Yêu cầu này được nhắc lại ở một số nơi khác (bao gồm cả ở đây trên cstheory), nhưng không có lời giải thích nào được tìm thấy. Dưới đây là sự hiểu biết của riêng tôi về những gì Coppersmith và Winograd chứng minh, và tại sao nó không đủ.

Có đúng là năng lực USP là $3/2^{2/3}$ ? Nếu vậy, có một tài liệu tham khảo cho bằng chứng?

Câu đố duy nhất có thể giải được

Một câu đố có thể giải được duy nhất (USP) có chiều dài $n$ và chiều rộng $k$ bao gồm một tập hợp con $\{1,2,3\}^k$ có kích thước $n$ , mà chúng ta cũng nghĩ là ba tập hợp của $n$ "mảnh" (tương ứng với các vị trí trong đó vectơ là $1$ , vị trí của chúng là $2$ và vị trí là $3$ ), thỏa mãn tính chất sau. Giả sử chúng ta sắp xếp tất cả $1$ mảnh trong $n$ dòng. Sau đó, phải có một cách duy nhất để đặt các mảnh khác, một trong mỗi loại trong mỗi dòng, để chúng "phù hợp".

Đặt $N(k)$ là chiều dài tối đa của USP có chiều rộng $k$ . Các khả năng USP là

κ = sup_{k} N (k)^{1 / k} .

$\kappa = \sup_k N(k)^{1/k}.$ Trong USP, mỗi phần cần phải là duy nhất - điều đó có nghĩa là không có hai dòng nào chứa ký hiệu

c \in {1, 2, 3}

$c \in \{1,2,3\}$ ở cùng một vị trí. Điều này cho thấy (sau một đối số ngắn) rằng v.v.

N (k) \leq \underset{một + b + c = = k}{Σ} tối thiểu {(\binom{k}{một}), (\binom{k}{b}), (\binom{k}{c})} \leq (\binom{k + 2}{2}) (\binom{k}{k / 3}),

$N(k) \leq \sum_{a+b+c=k} \min \left\{ \binom{k}{a}, \binom{k}{b}, \binom{k}{c} \right\} \leq \binom{k+2}{2} \binom{k}{k/3},$

κ \leq 3 / 2^{2 / 3}

$\kappa \leq 3/2^{2/3}$ .

Ví dụ (USP có chiều dài và chiều rộng ): Không ví dụ về chiều dài và chiều rộng , trong đó - và các phần có thể được sắp xếp theo hai cách khác nhau: started $4$ $4$

\begin{aligned} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ 2233 \end{aligned}

$\begin{align*} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ 2233 \end{align*}$

3

$3$

3

$3$

2

$2$

3

$3$

\begin{aligned} 123 & 132 \\ 231 & 321 \\ 312 & 213 \end{aligned}

$\begin{align*} 123 && 132 \\ 231 && 321 \\ 312 && 213 \end{align*}$

Câu đố Coppersmith-Winograd

Câu đố Coppersmith-Winograd (CWP) có chiều dài và chiều rộng bao gồm một tập con có có kích thước trong đó "các mảnh" là duy nhất - cho bất kỳ hai và , (Họ trình bày nó hơi khác một chút.) $n$ $k$ $S$ $\{1,2,3\}^k$ $n$ $a \neq b \in S$ $c \in \{1,2,3\}$

{Tôi \in [k] : {một}_{Tôi} = = c} \neq {Tôi \in [k] : b_{Tôi} = = c} .

$\{ i \in [k] : a_i = c \} \neq \{ i \in [k] : b_i = c \}.$

Mỗi USP là một CWP (như chúng tôi đã nhận xét ở trên), do đó khả năng CWP thỏa mãn . Ở trên chúng tôi đã nhận xét rằng . Coppersmith và Winograd đã cho thấy, bằng cách sử dụng một đối số tinh vi, rằng . Lập luận của họ đã được đơn giản hóa bởi Strassen (xem lý thuyết phức tạp Đại số ). Chúng tôi phác thảo một bằng chứng đơn giản dưới đây. $\lambda$ $\lambda \geq \kappa$ $\lambda \leq 3/2^{2/3}$ $\lambda = 3/2^{2/3}$

Cho , cho bao gồm tất cả các vectơ chứa mỗi s, s, s. Đối với , hãy để bao gồm tất cả các cặp sao cho và đặt . Mỗi tập độc lập trong biểu đồ là CWP. Điều nổi tiếng là mọi đồ thị đều có một bộ kích thước độc lập(bằng chứng: chọn từng đỉnh với xác suất và xóa một đỉnh khỏi mỗi cạnh còn sót lại). Trong trường hợp của chúng ta, $k$ $V$ $k/3$ $1$ $2$ $3$ $c \in \{1,2,3\}$ $E_c$ $a,b \in V$ $\{ i \in [k] : a_i = c \} = \{ i \in [k] : b_i = c \}$ $E = E_1 \cup E_2 \cup E_3$ $G = (V,E)$ $|V|^2/4|E|$ $|V|/2|E|$

| V | = (\binom{k}{k / 3}) (\binom{2 k / 3}{k / 3}), | E | \leq 3 | E_{1} | = \frac{3}{2} (\binom{k}{k / 3}) {(\binom{2 k / 3}{k / 3})}^{2} .

$|V| = \binom{k}{k/3} \binom{2k/3}{k/3}, \quad |E| \leq 3|E_1| = \frac{3}{2}\binom{k}{k/3} \binom{2k/3}{k/3}^2.$ Do đó

\frac{| V |^{2}}{4 | E |} = \frac{1}{6} (\binom{k}{k / 3}) ⟹ λ \geq \frac{3}{2^{2 / 3}} .

$\frac{|V|^2}{4|E|} = \frac{1}{6} \binom{k}{k/3} \Longrightarrow \lambda \geq \frac{3}{2^{2/3}}.$

— Yuval Filmus
nguồn

Thú vị, nhưng có một câu hỏi ở đây, hoặc đây chỉ là một khẳng định của một lỗ hổng trong văn học?

— David Eppstein

Câu hỏi đặt ra là liệu nó là đúng rằng dung lượng USP là

, và nếu như vậy, nơi có thể là một bằng chứng được tìm thấy.

3 / 2^{2 / 3}

$3/2^{2/3}$

— Yuval Filmus

$S$

$S$ $2^V$ $\Pr[x \in S] = (|V|/2|E|)^{1-\epsilon}$ $x,y,z \in V$ $x$ $y$ $z$ $w \in V$ $x,y,z \in S$ $w \in S$

$S$ $V$ $(x,y) \in E$ $x,y$ $(|V|^2/2|E|)^{1-\epsilon}$ $T$ $x,y,z \in T$ $x$ $y$ $z$ $w$ $x,y,z,w \in S$ $x,y,z$ $S$

— Yuval Filmus
nguồn