Đếm màu lưới tránh các tính năng nhất định

Một màu của lưới m × $k$$m \times n$ là một hàm . Một hình chữ nhật bị phá vỡ trong C là một tuple ( i , i ' , j , j ' ) đáp ứng C ( i , j ) = C ( i ' , j ) = C $C:[m] \times [n] \to [k]$$C$$(i,i',j,j')$ - có nghĩa là, chính xác ba góc của hình chữ nhật là cùng một màu sắc.$C(i,j) = C(i',j) = C(i,j') \ne C(i',j')$

Tôi quan tâm đến câu hỏi sau đây:

Là một hàm của , có bao nhiêu k- colorings (đối với các lưới có kích thước bất kỳ) tránh các hàng trùng lặp, các cột trùng lặp và hình chữ nhật bị hỏng?$k$$k$

Cho đến nay tôi biết rằng câu trả lời là hữu hạn và giới hạn trên tốt nhất tôi có thể chứng minh là (xem bên dưới).$k^{(1.5 k!)^2}$

Tôi cũng sẽ chỉ ra rằng đây là một câu hỏi khác với câu hỏi thường gặp của Gasarch trên blog của anh ấy (và trong bài viết này ). Anh ấy muốn tránh tất cả các hình chữ nhật đơn sắc, trong khi tôi không bận tâm đến hình chữ nhật đơn sắc, đó chỉ là những hình chữ nhật "bị hỏng" mà tôi muốn tránh.

Động lực là gì? Trong mật mã học, chúng tôi xem xét vấn đề của Alice (người có ) và Bob (người có y ) cả hai học f ( x , y ) cho một hàm f đã thỏa thuận , theo cách mà họ học không quá f ( x , y ) . Bạn có thể liên kết f một cách tự nhiên với bảng 2 chiều, do đó, tô màu lưới. Có các đặc điểm cho loại vấn đề này thuộc dạng sau (nhưng với các ký hiệu khác nhau): " f có một số thuộc tính thú vị về mật mã khi và chỉ khi $x$$y$$f(x,y)$$f$$f(x,y)$$f$$f$$f$chứa một hình chữ nhật bị hỏng. "Ví dụ, xem Kilian91 và BeimelMalkinMicali99 .

Vì vậy, vấn đề này đã xuất hiện trong một số cài đặt mật mã mà tôi đang nghiên cứu. Đối với mục đích của tôi, đủ để biết rằng có một số lượng hữu hạn các màu lưới để tránh các hình chữ nhật bị hỏng và các hàng / cột trùng lặp. Nhưng tôi nghĩ rằng vấn đề tổ hợp tự nó là thú vị và tôi tin rằng giới hạn tốt hơn nên có thể.

$R(2)=3$$R(k) = k \cdot R(k-1)$$R(k) = 1.5 k!$$C$$k$$R(k)$$R(k) \times R(k)$$k^{R(k)^2}$

$R(k)$$2^{k-1}+1$$C_k$$k$$2^{k-1} \times 2^{k-1}$

$\qquad C_1 = [1]; \qquad C_k = \left[ \begin{array}{ccc|ccc} k & \cdots & k & \\ \vdots & \ddots & \vdots & & C_{k-1} \\ k & \cdots & k & \\ \hline & & & k & \cdots & k \\ & C_{k-1} & & \vdots & \ddots & \vdots \\ & & & k & \cdots & k \end{array} \right].$

$k$

$R(k)$$k^{R(k)^2}$$R(k) \times R(k)$

$k$$k$$k^{mn}$

$\ge 1-2^{-100}$