Kết hợp nhúng đồ thị

Ở đây: http://www.planarity.org/Klein_elementary_graph_theory.pdf (trong chương nhúng) được đưa ra định nghĩa về nhúng tổ hợp của đồ thị phẳng. (với định nghĩa về khuôn mặt, v.v.) Mặc dù có thể dễ dàng sử dụng cho bất kỳ biểu đồ nào, họ định nghĩa biểu đồ phẳng là biểu đồ, theo đó công thức Euler giữ (giả sử rằng biểu đồ được kết nối). Điều khá dễ hiểu là đối với mọi đồ thị mặt phẳng , định nghĩa của các mặt trong nhúng tổ hợp tương tự như định nghĩa của các mặt trong nhúng tôpô. (giả sử rằng đồ thị được kết nối. Mặt khác, khi nhúng tổ hợp, chúng ta sẽ có mặt vô hạn cho mọi thành phần được kết nối)

Câu hỏi là: nếu đối với một số đồ thị được kết nối thì việc nhúng tổ hợp thỏa mãn công thức Euler, điều này có nghĩa là biểu đồ này là phẳng theo nghĩa tôpô (nó có nhúng mặt phẳng, tức là đồ thị mặt phẳng )?

Đây thực sự là ít về đồ thị mỗi se và nhiều hơn về cấu trúc liên kết. Việc nhúng tổ hợp xác định một đa diện 2 chiều, một không gian tôpô trong đó mọi điểm đều có cấu trúc đồng nhất lân cận với đĩa mở 2 chiều: việc nhúng cho phép xác định một mặt và chúng ta có thể xác định không gian tôpô bằng cách chọn một đĩa cho mỗi đối mặt và dán chúng lại với nhau dọc theo các cạnh đồ thị. Một định lý nổi tiếng về cấu trúc liên kết (được gọi là phân loại 2 đa tạp) cho chúng ta biết chính xác 2 đa tạp nào là có thể, và tất cả chúng đều có thể phân biệt được với nhau bằng cách chúng có định hướng được hay chúng có cùng đặc tính Euler (hoặc cả hai ) - xem http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/surgery/zeeman.pdfđối với một số ghi chú bài giảng hợp lý về chủ đề này, bao gồm bằng chứng bạn yêu cầu. Không có 2 đa tạp nào khác trong phân loại này có cùng đặc tính Euler với hình cầu, vì vậy nếu bạn tính đặc tính Euler và thấy rằng nó phù hợp với công thức cho một hình cầu, bạn biết rằng việc nhúng của bạn phải nằm trong một hình cầu.

Tìm một sự nhúng với tọa độ hình học thực tế trong mặt phẳng, một khi bạn có sự nhúng tổ hợp phẳng, không hoàn toàn tầm thường nhưng có thể được thực hiện, ví dụ như sử dụng lý thuyết về gỗ Schnyder. Tôi có một số ghi chú bài giảng về điều này tại http://www.ics.uci.edu/~eppstein/gina/schnyder/ chẳng hạn.