ma trận tương tự

Cho hai ma trận và , bài toán quyết định xem có tồn tại ma trận hoán vị sao cho tương đương với (Biểu đồ đẳng cấu). Nhưng nếu chúng ta thư giãn để chỉ là một ma trận khả nghịch, thì sự phức tạp là gì? Có bất kỳ hạn chế nào khác đối với ma trận khả nghịch , ngoài việc là một hoán vị, có liên quan đến vấn đề này hoặc các vấn đề khó khăn khác không?A B P B = P - 1 A P P $n \times n$$A$$B$$P$$B = P^{-1}AP$GI$P$$P$GI

Ma trận A và B có các phần tử nằm trong một trường F giống nhau (trong F ) khi và chỉ khi chúng có cùng dạng Frobenius bình thường . Theo một tìm kiếm nhanh, có vẻ như rằng hình thức bình thường Frobenius của một n × n ma trận có thể được tính với O ( n ³ ) hoạt động lĩnh vực [Sto98], và điều này có thể được cải thiện một cái gì đó tương đương với mức độ phức tạp của phép nhân ma trận [ Sto01].

[Sto98] Arne Storjohann. Một thuật toán O ( n ³ ) cho dạng bình thường Frobenius. Trong Kỷ yếu của Hội nghị quốc tế năm 1998 về tính toán tượng trưng và đại số (ISSAC) , trang 101 Lời105, tháng 8 năm 1998. DOI: 10.1145 / 281508.281570 .

[Sto01] Arne Storjohann. Tính toán xác định của hình thức Frobenius. Trong Hội nghị chuyên đề lần thứ 42 về nền tảng của khoa học máy tính (FOCS) , trang 368 369377, tháng 10 năm 2001. DOI: 10.1109 / SFCS.2001.959911 .

Thực sự có những hạn chế khác đối với liên quan đến vấn đề này với GI. Ví dụ: nếu người ta yêu cầu phải là sản phẩm Kronecker ( ) , thì vấn đề kết quả cũng khó tương đương với các tenxơ 3 hóa trị, có độ phức tạp tương đương với Tương đương mã tuyến tính, lần lượt được biết là GI-hard (nhưng không được biết là tương đương với GI).$P$$P$$P_1 \otimes P_2 \otimes P_3$

Một quan điểm khác về câu hỏi của bạn, có thể làm sáng tỏ tình hình chung, như sau. Đối với bất kỳ hành động nhóm nào của trên một được đặt (một cho mỗi ), người ta có thể hỏi về độ phức tạp của việc quyết định nếu hai điểm có cùng một -orbit; gọi đây là vấn đề quỹ đạo cho (các) hành động đó. Câu hỏi của bạn về cơ bản là về sự phức tạp của các vấn đề quỹ đạo có thể được diễn đạt như sau: đưa ra một hành động tuyến tính của một nhóm trên không gian vectơ , hãy xem xét vấn đề quỹ đạo của hành động cảm ứng của (bằng cách chia)$G_n$$X_n$$n$$x,y \in X_n$$G_n$$G_n$$V_n$$G_n$$X_n = V_n \otimes (V_n)^*$ .

Đối với đẳng cấu đồ thị, chúng ta có và với hành động tự nhiên bằng cách hoán vị tọa độ. Đối với phép chia ma trận, chúng ta có trong hành động tự nhiên của nó trên . Trong ví dụ trên, chúng ta có trong hành động tự nhiên của nó trên .V n = R n G n = GL n ( F ) V n = F n G n = GL a × GL b × GL c V n = F a ⊗ F b ⊗ F$G_n = S_n$$V_n = \mathbb{R}^n$$G_n = \text{GL}_n(\mathbb{F})$$V_n = \mathbb{F}^n$$G_n = \text{GL}_a \times \text{GL}_b \times \text{GL}_c$$V_n = \mathbb{F}^{a} \otimes \mathbb{F}^b \otimes \mathbb{F}^c$