Các ứng dụng của lý thuyết biểu diễn của nhóm đối xứng

Lấy cảm hứng từ câu hỏi này và đặc biệt là đoạn cuối của câu trả lời của Or, tôi có câu hỏi sau:

Bạn có biết bất kỳ ứng dụng nào của lý thuyết biểu diễn của nhóm đối xứng trong TCS không?

Nhóm đối xứng là nhóm của tất cả các hoán vị của với thành phần hoạt động của nhóm. Một đại diện của là một phép đồng hình từ đến nhóm tuyến tính tổng quát của ma trận phức ma trận. Một biểu diễn tác động lên bằng cách nhân ma trận. Một đại diện không thể sửa chữa của là một hành động không để lại không gian con thích hợp của bất biến. Các biểu diễn bất khả quy của các nhóm hữu hạn cho phép một người xác định một biến đổi Fourier trên các nhóm không abelian { 1 , Góc , n } S n S n n × n C n S n C$S_n$$\{1, \ldots, n\}$$S_n$$S_n$$n \times n$$\mathbb{C}^n$$S_n$$\mathbb{C}^n$. Biến đổi Fourier này chia sẻ một số thuộc tính tốt đẹp của biến đổi Fourier rời rạc trên các nhóm tuần hoàn / abelian. Ví dụ, tích chập trở thành phép nhân theo điểm trong cơ sở Fourier.

Các lý thuyết đại diện của các nhóm đối xứng là đẹp tổ hợp. Mỗi biểu diễn không thể thay đổi của tương ứng với một phân vùng nguyên của . Cấu trúc này và / hoặc biến đổi Fourier trên nhóm đối xứng có tìm thấy ứng dụng nào trong TCS không?$S_n$$n$

Dưới đây là một vài ví dụ khác.

1. Diaconis và Shahshahani (1981) đã nghiên cứu có bao nhiêu chuyển vị ngẫu nhiên được yêu cầu để tạo ra một hoán vị gần như thống nhất. Họ đã chứng minh một ngưỡng sắc nét là 1/2 n log (n) +/- O (n). Tạo một hoán vị ngẫu nhiên với các chuyển vị ngẫu nhiên .

2. Kassabov (2005) đã chứng minh rằng người ta có thể xây dựng một bộ mở rộng mức độ giới hạn trên nhóm đối xứng. Nhóm đối xứng và đồ thị Expander .

3. Kuperberg, Lovett và Peled (2012) đã chứng minh rằng tồn tại những tập hợp hoán vị nhỏ hoạt động đồng đều trên k-tuples. Sự tồn tại xác suất của các cấu trúc tổ hợp cứng nhắc .

Một câu hỏi rất hay. Tôi không biết câu trả lời đầy đủ và muốn tự mình biết nó. Tuy nhiên, bạn có thể tìm thấy những điều thú vị sau đây. Nếu, thay vì nhóm , chúng tôi xem xét đơn vị 0-Hecke nó, nó có một đại diện trên một loại ma trận nguyên nhất định hoạt động theo phương pháp nhiệt đới . Điều này có rất nhiều ứng dụng thú vị trong chuỗi, thông qua các đường dẫn ngắn nhất nhiều nguồn trong các biểu đồ giống như lưới. Để biết chi tiết, xem báo cáo kỹ thuật của tôi:$S_n$$H_0(S_n)$$(\min,+)$

A. Tiskin. So sánh chuỗi bán cục bộ: Các kỹ thuật và ứng dụng thuật toán. http://arxiv.org/abs/0707.3619

Đây là một ví dụ mà tôi biết:

`` Trên phỏng đoán 'Log-Rank' về độ phức tạp trong giao tiếp '' , R.Raz, B.Spieker,

Proceeding of the 34th FOCS, 1993, pp. 168-177
Combinatorica 15(4) (1995) pp. 567-588 

Tôi tin rằng có nhiều hơn nữa.

Đây là một ví dụ từ điện toán lượng tử:

Roland, Jeremie; Roetteler, Martin; Magnin, Loïck; Ambainis, Andris (2011), "Đối thủ được hỗ trợ đối xứng để tạo ra trạng thái lượng tử", Kỷ yếu của Hội nghị thường niên lần thứ 26 của IEEE năm 2011 về độ phức tạp tính toán, CCC '11, Xã hội máy tính IEEE, tr. 167171717, doi: 10.1109 / CCC. 2011.24

Chúng chỉ ra rằng độ phức tạp của truy vấn lượng tử của một vấn đề nhất định có tên Index Erasure là sử dụng lý thuyết biểu diễn của nhóm đối xứng để xây dựng ma trận đối thủ tối ưu để cắm vào phương pháp đối nghịch lượng tử.$\Omega(\sqrt{n})$

1. Tập 3 của Nghệ thuật lập trình máy tính Knuth dành cho việc tìm kiếm và sắp xếp và dành nhiều tâm huyết cho tổ hợp và hoán vị và cho sự tương ứng của Robinson-Schensted-Knuth , là trung tâm trong lý thuyết đại diện của nhóm đối xứng.

2. Có một số bài viết của Ellis-Friedgut-Pilpel và Ellis-Friedgut-Filmus giải quyết các vấn đề tổ hợp cực đoan bằng cách sử dụng phân tích điều hòa trên . Không khá TCS, nhưng khá gần gũi.$S_n$

3. Ajtai đã có kết quả tuyệt vời vào đầu những năm 90 về đại diện mô-đun của , được thúc đẩy bởi các câu hỏi phức tạp về tính toán. Tôi không nhớ các chi tiết hoặc nếu nó được xuất bản, nhưng điều này đáng để hiểu!$S_n$

Nhóm đối xứng thách thức việc lấy mẫu Fourier mạnh của Moore, Russell, Schulman

"chúng tôi cho thấy rằng vấn đề nhóm con ẩn so với nhóm đối xứng có thể được giải quyết một cách hiệu quả bằng cách lấy mẫu Fourier mạnh ... Những kết quả này áp dụng cho trường hợp đặc biệt có liên quan đến vấn đề Đồ thị đẳng hình."

với một kết nối để giải quyết vấn đề Đồ thị đẳng hình thông qua các phương pháp QM

giây 5 Lý thuyết biểu diễn của nhóm đối xứng

Thống kê nhiều hơn khoa học máy tính, nhưng vẫn thú vị: Trong chương 8 trong chuyên khảo của Diaconis về Xác định nhóm và Thống kê , các kỹ thuật phân tích quang phổ cho dữ liệu liên quan đến nhóm được phát triển. Điều này mở rộng phân tích phổ cổ điển hơn về dữ liệu chuỗi thời gian nói trong đó tự nhiên là số thực hoặc số nguyên được thêm vào. Thật ý nghĩa khi lấy thành khi dữ liệu được đưa ra bởi bảng xếp hạng. Chuyên khảo đi vào diễn giải các hệ số Fourier của dữ liệu xếp hạng. Trong trường hợp đó, tập dữ liệu được biểu thị bằng một thưa thớtG G S n f : S n → R$G$$G$$G$$S_n$$f:S_n \rightarrow \mathbb{R}^+$ bản đồ xếp hạng (được đưa ra bởi một hoán vị) cho phần dân số thích xếp hạng.

Cũng trong cùng một chương, phân tích Fourier qua các nhóm đối xứng và các nhóm khác được sử dụng để rút ra các mô hình và thử nghiệm ANOVA.

Một phần mở rộng tự nhiên của điều này sẽ là lý thuyết học thống kê để xếp hạng các vấn đề có lợi từ các kỹ thuật lý thuyết biểu diễn theo cách tương tự như cách học lý thuyết để phân loại nhị phân theo phân phối thống nhất đã được hưởng lợi từ phân tích Fourier trên khối boolean.

Lý thuyết biểu diễn của nhóm đối xứng đóng một vai trò quan trọng trong cách tiếp cận Lý thuyết phức tạp hình học đối với các giới hạn thấp hơn trên phép xác định hoặc nhân ma trận.

• Bürgisser và Ikenmeyer chứng minh giới hạn dưới của cấp bậc nhân của ma trận bằng cách sử dụng lý thuyết biểu diễn của .$S_n$

• Để biết lý thuyết biểu diễn của liên quan đến giới hạn dưới của định thức, xem Lý thuyết độ phức tạp hình học II: Hướng tới những trở ngại rõ ràng cho sự nhúng giữa các loại lớp và Lý thuyết phức tạp hình học VI: ip thông qua tính tích cực$S_n$

• Luận văn tiến sĩ, luận điểm và học tập về sự xác thực: khai thác sự phân hủy cấu trúc của nhóm đối xứng . ứng dụng này là "một kịch bản theo dõi nhiều người thực sự dựa trên máy ảnh."

• Fourier Lý thuyết xác suất lý thuyết về hoán vị của Huang, Guestrin, Guibas; Tạp chí nghiên cứu máy học 10 (2009) 997-1070. xem ví dụ giây 5. Lý thuyết biểu diễn trên nhóm đối xứng

• một giấy ứng dụng đa nhiệm. Theo dõi đa đối tượng với các đại diện của nhóm đối xứng (2007) của Kondor, Howard, Jebara

• Học phân phối xác suất theo Giấy phép theo phương tiện hệ số Fourier, Irurozki, Calvo, Lozano (Phòng CS / AI). xem giây 2 Biến đổi Fourier trên nhóm đối xứng

Áp dụng lý thuyết biểu diễn của các nhóm đối xứng để tính toán các đa thức Chromatic của đồ thị của Klin và Pech

bài báo được trích dẫn nhiều này của Beals, 1997, STOC dường như chứng minh rằng tính toán lượng tử của biến đổi Fourier trên các nhóm đối xứng nằm trong BQP tức là thời gian đa thức lượng tử

một ví dụ cũ hơn, nhưng vẫn còn với nghiên cứu gần đây / đang diễn ra, một số lý thuyết này xuất hiện trong toán học của "shuffle hoàn hảo" , được coi là một yếu tố của nhóm đối xứng & là một khám phá nổi tiếng vào thời điểm đó. [1] đề cập đến các ứng dụng của shuffle hoàn hảo cho các thuật toán xử lý song song và cả kết nối với Cooley-Tukey O (n log n) DFT. [2] là gần đây hơn. shuffle hoàn hảo xuất hiện trong xử lý song song [3], thiết kế bộ nhớ và sắp xếp các mạng.

[1] Toán học về sự xáo trộn hoàn hảo của Diaconis, Graham, Cantor. 1983

[2] Chu kỳ hoán vị xáo trộn hoàn hảo đa đường của Ellis, Fan, Shallit (2002)

[3] Xử lý song song với sự xáo trộn hoàn hảo của Stone, 1971

[4] Mạng Omega dựa trên sự xáo trộn hoàn hảo

[5] Hoán vị song song và tuần tự tại chỗ và xáo trộn hoàn hảo bằng cách sử dụng các liên kết Yang et al (2012)