Số lượng các nút riêng biệt trong một bước đi ngẫu nhiên

Thời gian đi lại trong đồ thị được kết nối được định nghĩa là số bước dự kiến ​​trong một bước ngẫu nhiên bắt đầu tại i , trước khi nút j được truy cập và sau đó nút i được tiếp cận lại. Về cơ bản, nó là tổng của hai lần đánh H ( i , j ) và H ( j , i ) .$G=(V,E)$$i$$j$$i$$H(i,j)$$H(j,i)$

Có bất cứ điều gì tương tự như thời gian đi lại (không hoàn toàn giống nhau) nhưng được xác định theo các nút? Nói cách khác, số lượng nút riêng biệt dự kiến đi bộ ngẫu nhiên bắt đầu từ và trở về lúc tôi sẽ truy cập là bao nhiêu?$i$$i$

Cập nhật (ngày 30 tháng 9 năm 2012): Có một số công việc liên quan về số lượng các trang web riêng biệt được truy cập bởi một người đi bộ ngẫu nhiên trên một mạng (ví dụ: ). Ví dụ: xem: http://jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v4/i9/p1191_s1?isAuthorized=no$\mathbb{Z}^n$

Bất cứ ai đã từng đọc một cái gì đó về điều này?

từ Q & A với bạn trong các bình luận mà bạn dường như quan tâm đến việc nghiên cứu một cái gì đó được xác định là khoảng cách ngăn xếp trong bộ slide này, Trên mô hình toán học của bộ nhớ cache

xác định khoảng cách ngăn xếp của tham chiếu là số lượng địa chỉ khối duy nhất giữa tham chiếu hiện tại và tham chiếu trước đó cho cùng một số khối.

nó có một số phân tích thực nghiệm thông qua điểm chuẩn. nó nói chung nói rằng "không có phép đo cục bộ đã biết" của các yêu cầu bộ đệm và sau đó đề xuất khoảng cách ngăn xếp như một biện pháp như vậy. nó không liên quan nó với lý thuyết đồ thị ngẫu nhiên mặc dù bạn phác thảo ra một kết nối như vậy trong các bình luận của bạn. (có vẻ như khoảng cách ngăn xếp có thể liên quan đến trộn chuỗi markov ?)

có vẻ như bạn quan tâm đến việc mô hình hóa các hiệu suất bộ đệm hoặc thuật toán tối ưu hóa bằng cách xem xét các yêu cầu bộ đệm như các nút của biểu đồ và các cạnh là các chuyển tiếp giữa các yêu cầu liền kề. chưa thấy các bài nghiên cứu về cấu trúc của biểu đồ này. nó dường như không phải là một đồ thị hoàn toàn ngẫu nhiên trong các ứng dụng thực tế do sự thành công của bộ nhớ cache trong thực tế và cái được gọi là địa phương không gian và thời gian trong các slide trên. tức là một số loại "phân cụm" như joe phác thảo trong câu trả lời của mình.

(có lẽ nó có cấu trúc thế giới nhỏ ?, khá phổ biến trong dữ liệu thế giới thực)

Một nhận xét: Gần đây tôi đã tham dự một buổi nói chuyện của Bruce Reed với tiêu đề Bắt một kẻ say rượu , đó là công việc chung với Natasha Komorov và Peter Winkler. Nếu bạn có thể nắm giữ kết quả từ công việc này, có thể điều đó có thể giúp bạn theo một số hướng.

Nói chung, họ chứng minh giới hạn trên về số bước mà một cảnh sát cần trong biểu đồ chung để có thể bắt được một tên cướp, khi chúng ta biết tên cướp di chuyển ngẫu nhiên dọc theo các cạnh.

Đây thực sự không phải là một câu trả lời thích hợp cho câu hỏi của bạn, nhưng hơi quá dài cho một nhận xét.

Số lượng bạn theo sau sẽ thay đổi từ biểu đồ này sang biểu đồ khác và sẽ phụ thuộc vào vị trí ban đầu của khung tập đi. Số lượng nút trung gian riêng biệt dự kiến ​​sẽ phụ thuộc mạnh vào phân cụm trong biểu đồ và tôi hy vọng số lượng nút trung gian riêng biệt dự kiến ​​sẽ tương quan với hệ số phân cụm .

Một cụm về cơ bản là một tập hợp con của các đỉnh có chung một số lượng lớn các cạnh, sao cho mỗi đỉnh được kết nối với một phần lớn các đỉnh khác trong cụm. Khi một người đi bộ đi vào một cụm, nó có khả năng ở lại trong khu vực đó cho một số lượng lớn hoa bia, có thể xem xét lại mỗi nút nhiều lần. Thật vậy, sử dụng các bước ngẫu nhiên theo cách này là một trong những kỹ thuật tính toán được sử dụng để xác định các cụm trong các biểu đồ lớn. Do đó, đối với một người đi bộ bắt đầu trong một cụm, số lượng đỉnh trung gian riêng biệt dự kiến ​​sẽ có khả năng mở rộng theo kích thước của cụm và xác suất trung bình rời khỏi cụm.

$N$$\frac{1}{N}$$N+1$

Mức độ trung bình của các đỉnh trong biểu đồ cũng sẽ đóng một vai trò quan trọng, mặc dù điều này được liên kết với phân cụm. Lý do cho điều này là khi người đi bộ nhảy lên một đỉnh có độ 1, nó phải nhảy trở lại đỉnh trước trên bước nhảy tiếp theo. Ngay cả khi độ là 2, chỉ có một con đường có thể đi theo biểu đồ, mặc dù nó có thể đi qua một trong hai hướng ở mỗi bước nhảy. Mặt khác, đối với các biểu đồ có độ cao hơn 2, số lượng đường dẫn có thể phát nổ, khiến nó cực kỳ khó quay lại vị trí ban đầu ngay cả khi đường đi ngắn nhất giữa đó là nhỏ.

Do đó, bạn sẽ mong đợi số lượng đỉnh trung gian riêng biệt sẽ cao đối với các biểu đồ có cả mức trung bình đáng kể trên 2 và cũng không có phân cụm đáng kể, chẳng hạn như cây.

Tất nhiên những bình luận này không còn giữ trong trường hợp bước đi ngẫu nhiên lượng tử, nhưng tôi đoán bạn chỉ quan tâm đến trường hợp cổ điển.