Một tham số đồ thị có thể liên quan đến treewidth

Tôi quan tâm đến đồ thị trên $n$ đỉnh có thể được tạo ra thông qua quy trình sau.

1. Bắt đầu với một đồ thị tùy ý trên các đỉnh . Dán nhãn tất cả các đỉnh trong là không sử dụng .k ≤ n $G$$k\le n$$G$
2. Tạo ra một biểu đồ mới bằng cách thêm một đỉnh mới , được kết nối với một hoặc nhiều không sử dụng các đỉnh trong , và không kết nối với bất kỳ sử dụng đỉnh trong . Nhãn là không sử dụng . v G G $G'$$v$$G$$G$$v$
3. Dán nhãn một trong các đỉnh trong mà được kết nối như được sử dụng .$G'$$v$
4. Đặt thành và lặp lại từ bước 2 cho đến khi chứa đỉnh.G ′ G $G$$G'$$G$$n$

Gọi các biểu đồ như vậy là "biểu đồ của độ phức tạp " (lời xin lỗi cho thuật ngữ mơ hồ). Ví dụ: nếu là đồ thị có độ phức tạp 1 thì là một đường dẫn.G $k$$G$$G$

Tôi muốn biết nếu quá trình này đã được nghiên cứu trước đây. Cụ thể, đối với tùy ý , nó có hoàn thành NP để xác định xem đồ thị có độ phức tạp không?k$k$$k$

Vấn đề này có vẻ hơi giống với câu hỏi liệu có phải là một phần$G$$k$ -tree hay không, tức là cótreewidth $k$ . Được biết, việc xác định xem$G$ có treewidth$k$ là NP-đầy đủ hay không. Tuy nhiên, một số đồ thị (ví dụ như các ngôi sao) có thể có treewidth nhỏ hơn nhiều so với số đo độ phức tạp được thảo luận ở đây.

Ngày 4 tháng 10 năm 2012: Câu hỏi được đăng chéo lên MathOverflow sau khi không có câu trả lời kết luận nào sau một tuần (mặc dù cảm ơn về thông tin về các luồng nhân quả).

Mặc dù chúng tôi đã trò chuyện về vấn đề này trước đây, tôi sẽ thêm điều này với hy vọng rằng điều này sẽ cho phép người khác cung cấp câu trả lời hoàn chỉnh.

Trong quá trình của bạn thêm đỉnh, xác định một chức năng phần từ mỗi đỉnh v mà được sử dụng, với đỉnh đó đã được bổ sung khi v đã quen. Sau đó, nó chỉ ra rằng f là một hàm dòng (nguyên nhân) (trang 39), là phiên bản giới hạn của bìa đường dẫn. Thật vậy, mô tả của bạn về các đồ thị "độ phức tạp k " này (được đưa ra một tập hợp các đỉnh sẽ là các đỉnh không được sử dụng ban đầu và các đỉnh không được sử dụng cuối cùng) chính xác là sự phân rã sao của "hình học" với dòng chảy nguyên nhân (p. 46 bài viết trên).$f:V(G) \rightharpoonup V(G)$$v$$v$$f$

Mặc dù các "dòng nhân quả" này đã được nghiên cứu chủ yếu trong bối cảnh tính toán lượng tử (dựa trên đo lường) - nơi chúng được thúc đẩy bởi các cấu trúc nhất định của các mạch đơn nhất - có kết quả lý thuyết về chúng được tách ra hoàn toàn khỏi tính toán lượng tử:

Điểm cuối modulo duy nhất : các đồ thị có "độ phức tạp  " chính xác làcác đồ thịtồn tại (có thể giao nhau) đặt S , T ⊆ V ( G ) , cả hai kích thước k , sao cho G có chính xác một đường dẫn có kích thước k có đường dẫn k bắt đầu vào S và kết thúc trong T .$k$$S,T \subseteq V(G)$$k$$G$$k$$S$$T$

Đồ thị cực trị : Một đồ thị trên đỉnh có "độ phức tạp k " có nhiều nhất các cạnh.$n$$k$$kn - \binom{k+1}{2}$

Sử dụng các kết quả này và đưa ra một cặp ứng cử viên gồm , xác định xem chúng có "phụ thuộc" một đường dẫn duy nhất theo cách này hay không có thể được xác định trong thời gian ; nhưng việc tìm ra liệu các tập hợp điểm cuối như vậy có tồn tại khó khăn rõ ràng hay không, và kết quả cực đoan ở trên (chỉ là điều kiện cần) dường như thể hiện trạng thái của nghệ thuật trong các tiêu chí hiệu quả để xác định liệu các tập hợp đó có tồn tại hay không.$S,T$$O(k^2 n)$

Tất cả các đồ thị có độ phức tạp có độ rộng đường dẫn nhiều nhất là . Ở mỗi bước, tập hợp các nút không sử dụng là một dấu phân tách ngăn cách các nút được sử dụng với các nút đã được tạo. Vì vậy, ở mỗi bước, khi bạn thêm một đỉnh, bạn có thể tạo một túi chứa đỉnh đó cộng với tất cả các đỉnh không được sử dụng và kết nối túi ở cuối phân tách đường dẫn. Đây sẽ là một phân tách đường dẫn hợp lệ.$k$$k$

Do " được kết nối" ở điểm 3 và 2, độ rộng đường dẫn có thể nhỏ hơn . Tôi không chắc chắn về việc quyết định nếu là một phức tạp , nhưng như Niel nói, phải có một đường dẫn có kích thước k, nhưng không chỉ có một đường dẫn che, các đường dẫn phải được tạo ra. Và giữa các đường dẫn chúng ta có thể có mô hình zig-zag này. Chúng ta có thể trong thời gian tính toán phân tách đường dẫn tối ưu, sau đó chúng ta có thể sử dụng phép phân tách này để lập trình động trong khi theo dõi các phân đoạn khác nhau của các nàyk G k f ( k ) ⋅ p o l y ( n ) $v$$k$$G$$k$$f(k) \cdot poly(n)$$k$các đường dẫn, chúng thuộc về đường nào và thứ tự các đoạn thuộc cùng một đường dẫn. Và đối với mỗi cặp phân đoạn thuộc các đường dẫn khác nhau, chúng ta chỉ cần biết đường dẫn đầu tiên và cuối cùng của đường zig-zag.

Do đó, tôi nghĩ rằng chúng ta có thể quyết định xem một đồ thị có độ phức tạp trong thời gian .f ( k ) ⋅ p o l y ( n $k$$f(k) \cdot poly(n)$