Độ phức tạp của nguồn ma trận

Đặt là ma trận số nguyên vuông và là số nguyên dương. Tôi quan tâm đến sự phức tạp của vấn đề quyết định sau: $M$ $n$

Là mục trên cùng bên phải của tích cực? $M^n$

Lưu ý rằng cách tiếp cận rõ ràng của bình phương lặp (hoặc bất kỳ phép tính rõ ràng nào khác) đòi hỏi chúng ta phải xử lý các số nguyên có độ lớn theo cấp số nhân gấp đôi, tức là có nhiều bit theo cấp số nhân. Tuy nhiên, vấn đề dễ thấy là ở lớp "PosSLP" của Allender và cộng sự ( "Về sự phức tạp của phân tích số", SIAM J. Comput. 38 (5) ), và do đó ở cấp độ thứ tư của hệ thống phân cấp đếm .

1) Có thể đặt vấn đề cấp nguồn ma trận này trong một lớp phức tạp thấp hơn không?

2) Nếu không, nó có thể hình dung được là PosSLP-hard không?

3) Tôi đặc biệt quan tâm đến vấn đề cấp nguồn ma trận cho các ma trận chiều thấp, tức là lên đến và bao gồm các ma trận 6x6. Có thể độ phức tạp thấp hơn cho ma trận như vậy?

cc.complexity-theory linear-algebra matrices

— Tham gia
nguồn

Không nên thay đổi tiêu đề thành "Độ phức tạp của việc cung cấp năng lượng ma trận"? Ma trận lũy thừa (xem ví dụ en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential ) thường được hiểu là "A = exp (B)" cho ma trận A, B.

— Martin Schwarz

Tôi sẽ chỉnh sửa nó. đó là một điểm tốt, @MartinSchwarz

— Suresh Venkat

Nếu bạn chuyển đổi ma trận thành dạng PDP-1 (đối với ma trận nhỏ và công suất đủ cao của n có thể được coi là hằng số), thì bạn có thể biết dấu hiệu của từng mục nhập của các mục chéo. Sau đó, thật dễ dàng để tìm ra hai phép nhân ma trận còn lại.

— Robert Mason

@Robert Mason: Tôi không chắc chắn chính xác những gì bạn đang đề xuất. Nếu D là dạng chính tắc Jordan của M, sao cho M ^ n = P ^ (- 1) D ^ n P, thì các mục nhập của D thường sẽ là các số đại số phức, vậy ý của bạn là "dấu hiệu" của chúng là gì? Tôi đồng ý bạn có thể tính D và P trong thời gian đa thức (giả sử biểu diễn chuẩn của các số đại số), nhưng biểu thức bạn nhận được cho mục nhập trên cùng bên phải của M ^ n = P ^ (- 1) D ^ n P sẽ là một biểu thức liên quan đến các số đại số khác nhau được nâng lên lũy thừa n và tôi không thấy cách bạn có thể xác định dấu hiệu của biểu thức này một cách hiệu quả.

— Joel

@Robert Mason: Tôi vẫn không hiểu - làm thế nào / tại sao điều này hiệu quả cho ma trận khả nghịch? (Và thật tình cờ, "hầu hết" ma trận là không thể đảo ngược, thay vì ngược lại.)

— Joel

Đối với ma trận có kích thước các Matrix Powering dương Vấn đề là ở (x này giấy để xuất hiện trong STACS 2015) $k = 2,3$ $\mathsf{P}$

— SamiD
nguồn

Không thể cưỡng lại việc đăng bài này! :-)

— SamiD