Độ dài dự kiến của con đường hamiltonian ngắn nhất trên một điểm được chọn ngẫu nhiên từ lưới phẳng là gì?

$k$ điểm khác biệt được chọn ngẫu nhiên từ lưới . (Rõ ràng và là một số không đổi cho trước.) Một đồ thị có trọng số hoàn chỉnh được xây dựng từ các điểm này sao cho trọng số của cạnh giữa đỉnh và đỉnh bằng khoảng cách Manhattan của hai đỉnh trên lưới ban đầu . $p\times q$ $k\leq p\times q$ $k$ $i$ $j$

Tôi đang tìm kiếm một cách hiệu quả để tính toán độ dài dự kiến của con đường hamiltonian ngắn nhất (tổng trọng lượng tối thiểu) đi qua các nút này . Chính xác hơn, các cách tiếp cận ngây thơ sau đây là không mong muốn: $k$

$\bullet$ Tính toán độ dài đường dẫn chính xác cho tất cả các kết hợp của các nút k và lấy được độ dài dự kiến.

$\bullet$ Tính toán độ dài đường dẫn xấp xỉ cho tất cả các kết hợp của các nút k bằng cách sử dụng phương pháp phỏng đoán cơ bản của việc sử dụng cây bao trùm tối thiểu, gây ra lỗi lên tới 50%. (Một heuristic tốt hơn với ít lỗi hơn có thể hữu ích)

— Javad
nguồn

Hiện tại, không có hy vọng cho thuật toán hiệu quả vì vấn đề đường dẫn Hamilton không trọng số trên lưới phẳng là NP-hoàn chỉnh.

— Mohammad Al-Turkistany

Khi bạn nói về con đường hamiltonian, bạn có đang nói về con đường hamiltonian với trọng lượng nhỏ nhất (hay còn gọi là vấn đề nhân viên bán hàng du lịch)?

— a3nm

@ MohammadAl-Turkistany độ cứng của HAM PATH không nhất thiết là một trở ngại, vì OP chỉ là ước tính cho các điểm ngẫu nhiên.

— Suresh Venkat

@ a3nm có, và tôi đã sửa nó.

— Suresh Venkat

Có gì sai khi tính toán thời lượng tham quan chính xác cho nhiều mẫu điểm ngẫu nhiên và tìm ra kỳ vọng và độ lệch chuẩn? Bạn cần đến mức nào?

k

$k$

k, p, q

$k, p, q$

— Peter Shor

Giả sử rằng và khá lớn, người ta sẽ mong đợi rằng độ dài dự kiến sẽ chủ yếu phụ thuộc vào mật độ, với một số thuật ngữ điều chỉnh tùy thuộc vào chu vi. Vì vậy, nó sẽ, theo thứ tự đầu tiên, là một chức năng của hình thức sau đây. $p$ $q$

L \approx (p q k)^{1 / 2} f (k / p q) + (p + q) g (k / p q) .

$L \approx (pqk)^{1/2} f(k/pq) + (p+q) g(k/pq).$

Bây giờ, bạn có thể sử dụng các thử nghiệm trên các vấn đề kích thước nhỏ hơn để tìm ra và là gì. Trước tiên, để ước tính , bạn muốn thực hiện các thử nghiệm trên một mẫu không có ranh giới: cách dễ nhất để làm điều này là sử dụng lưới với bên trái được kết nối với bên phải và từ trên xuống dưới, tạo thành một hình xuyến. Để ước tính , bạn có thể sử dụng thử nghiệm trên lưới . $f$ $g$ $f$ $p\times p$ $g$ $p \times q$

Để ước tính, bạn cần giải quyết (chính xác hoặc xấp xỉ) các TSP tương đối lớn, vì những cái bạn sử dụng để ước tính càng lớn, kết quả của bạn sẽ càng tốt. Bạn có thể sử dụng phương pháp phỏng đoán trong một vài phần trăm hoặc mã TSP chính xác. Xem ở đây cho một số heuristic tốt. Người giải quyết TSP Concorde của Bill Cook sẽ tìm thấy tối ưu chính xác cho các trường hợp lớn hợp lý (đó là mã TSP tốt nhất hiện có) và có thể được sử dụng miễn phí cho nghiên cứu học thuật.

— Peter Shor
nguồn

Sử dụng thuật ngữ từ TSPLIB , tôi đã tìm kiếm SOP chứ không phải TSP. Nhân tính cho TSP với sẽ đưa ra giới hạn trên cho SOP. Thật không may, trình giải quyết TSP của Concorde không xử lý các SOP và tôi không thể tìm thấy bất kỳ trình giải quyết SOP trực tuyến nào.

E [L]

$E[L]$

(k - 1) / k

$(k-1)/k$

— Javad

E [L]

$E[L]$

L

$L$

L

$L$

E [L]

$E[L]$

k

$k$

E [L]

$E[L]$

k^{2}

$k^2$

k^{2} / (p q)

$k^2/(pq)$

p

$p$

q

$q$

k^{2}

$k^2$

p \times q

$p\times q$

p \times q

$p \times q$

θ (\sqrt{p q / k})

$\theta(\sqrt{pq/k})$

k

$k$

f

$f$

\sqrt{p q k} f (k / p q)

$\sqrt{pqk} f(k/pq)$

k \approx 10^{6}

$k \approx 10^6$

Độ dài dự kiến ​​của con đường hamiltonian ngắn nhất trên một điểm được chọn ngẫu nhiên từ lưới phẳng là gì?

Độ dài dự kiến của con đường hamiltonian ngắn nhất trên một điểm được chọn ngẫu nhiên từ lưới phẳng là gì?