Số chu kỳ Hamilton trên biểu đồ ngẫu nhiên

Chúng tôi giả sử rằng . Sau đó, thực tế sau đây được biết đến:$G\in G(n,p),p=\frac{\ln n +\ln \ln n +c(n)}{n}$

$$\begin{eqnarray} Pr [G\mbox{ has a Hamiltonian cycle}]= \begin{cases} 1 & (c(n)\rightarrow \infty) \\ 0 & (c(n)\rightarrow - \infty) \\ e^{-e^{-c}} & (c(n)\rightarrow c) \end{cases} \end{eqnarray}$$

Tôi muốn biết kết quả về số chu kỳ Hamilton trên các biểu đồ ngẫu nhiên.

Q1. Có bao nhiêu số chu kỳ Hamilton dự kiến ​​trên ?$G(n,p)$

Quý 2 Xác suất cho xác suất cạnh p trên G ( n , p ) là bao nhiêu?$Pr [G \textrm{ has a *unique* Hamiltonian cycle}]$$p$$G(n,p)$

Như Yuval đã nói, Q1 rất dễ trả lời bằng cách sử dụng tuyến tính của kỳ vọng (spoiler: ). Tôi không biết câu trả lời chính xác cho Q2, nhưng nó có thể đủ tốt nếu bạn biết nó rất thấp: đối với phạm vi p có ít nhất một chu kỳ, điều đó cho thấy P [ có nhiều hơn một chu kỳ | có ít nhất một chu kỳ ] > 1 - 1 / n log n hoặc hơn. Nói cách khác, một khi có một chu kỳ, có rất nhiều. Lý do là một khi có một chu kỳ, có khoảng n $(n-1)!p^n$$p$$P[\text{there is more than one cycle} | \text{there is at least one cycle}]>1-1/n^{\log n}$$n^2$cách để tạo ra một chu kỳ khác từ nó bằng cách trao đổi hai cạnh của chu kỳ bằng hai cạnh "giao nhau" (đây được gọi là "2 lần lật" hoặc một cái gì đó trong một số tài liệu liên quan). Đối với bất kỳ cặp cạnh nào, cơ hội bạn có thể làm là . Vì vậy, đối với tất cả những điều này không thành công, cơ hội là ( 1 - p 2 ) n 2 gần bằng e - ( p n ) 2 , khá nhỏ.$p^2$$(1-p^2)^{n^2}$$e^{-(pn)^2}$