Chúng ta có thể đếm sâu

Chúng ta có thể tính toán một ngưỡng ngưỡng -bit theo các mạch kích thước đa thức (không giới hạn quạt) có độ sâu lg $n$ ? Ngoài ra, chúng ta có thể đếm số lượng 1 trong các bit đầu vào bằng các mạch này không?$\frac{\lg n}{\lg \lg n}$

Là ?$\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{AltTime}(O(\frac{\lg n}{\lg \lg n}), O(\lg n))$

Lưu ý rằng . Vì vậy, câu hỏi về cơ bản là hỏi liệu chúng ta có thể lưu một yếu tố lg lg n trong độ sâu của các mạch khi tính toán các cổng ngưỡng hay không.$\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime} = \mathsf{AltTime}(O(\lg n), O(\lg n))$$\lg \lg n$

Chỉnh sửa:

Như Kristoffer đã viết trong câu trả lời của mình, chúng ta có thể lưu một yếu tố . Nhưng chúng ta có thể tiết kiệm hơn một chút không? Chúng ta có thể thay thế O ( lg $\lg \lg n$vớio(lg$O(\frac{\lg n}{\lg \lg n})$?$o(\frac{\lg n}{\lg \lg n})$

Dường như với tôi rằng lớp brute-force lừa không làm việc cho tiết kiệm thậm chí (tổng quát hơn bất kỳ chức năng trong lg lg n + ω ( 1 ) ).$2 \lg \lg n$$\lg \lg n + \omega(1)$

Hãy xem xét một mạch fanin 2 của sâu O ( log n ) . Chia các lớp C thành O ( log n / log log n ) chặn từng lớp log log n lớp liên tiếp. Bây giờ chúng tôi muốn thay thế mỗi khối bằng một mạch sâu 2. Cụ thể, mỗi cổng trong lớp cuối cùng của một khối phụ thuộc vào tối đa 2 log log n = log $C$$O(\log n)$$C$$O(\log n/\log\log n)$$\log\log n$$2^{\log\log n} = \log n$cổng của lớp cuối cùng trong khối bên dưới. Do đó, chúng ta có thể thay thế mỗi cổng trong lớp cuối cùng bằng một DNF có kích thước đa thức với các đầu vào là các cổng trong lớp cuối cùng của khối bên dưới. Làm điều này cho tất cả các cổng trong các lớp cuối cùng cho tất cả các khối và kết nối chúng sẽ mang lại mạch mong muốn.

Hãy để tôi lưu ý rằng đây về cơ bản là thứ tốt nhất có thể đạt được: bổ đề chuyển đổi cho phép giới hạn thấp hơn tất cả các cách để .$\log n/ \log\log n$