Cliquewidth của Hầu như Cograph

(Tôi đã đăng câu hỏi này lên MathOverflow hai tuần trước, nhưng cho đến nay không có câu trả lời nghiêm ngặt)

Tôi có một câu hỏi về các số đo chiều rộng của đồ thị của các đồ thị đơn giản không có hướng. Người ta biết rằng các đồ thị (đồ thị có thể được xây dựng bằng các phép toán tách rời và bổ sung, bắt đầu từ các đỉnh bị cô lập) có nhiều nhất là 2. (Courcelle et al, Giới hạn trên của chiều rộng của đồ thị). Bây giờ hãy xem xét một số nguyên không âm cố định k và xem xét lớp biểu đồ của đồ thị sao cho mỗi có một bộ tại hầu hết các đỉnh k sao cho là một đồ thị. Vì lớp biểu đồ cũng có thể được xem là lớp biểu đồ có thể được xây dựng từ các đồ thị bằng cách thêm tối đa$\mathcal{G} _k$$G = (V,E) \in \mathcal{G} _k$$S$$G[V - S]$$\mathcal{G} _k$$k$đỉnh, lớp này cũng đã được gọi là cographs + .$kv$

Câu hỏi của tôi là: một ràng buộc chặt chẽ nào về độ chính xác của đồ thị trong , tức là các đồ thị có thể biến thành một đồ thị bằng cách xóa các đỉnh k?$\mathcal{G}_k$

Được biết, nếu một đồ thị được lấy từ bằng cách xóa đỉnh thì . Điều này cho thấy nếu một cograph có thể được lấy từ một đồ thị H bằng cách xóa k đỉnh, sau đó c w ( H ) ≤ 2 k ( 3 + 1 ) , và do đó cliquewidth của một đồ thị trong G k là ở hầu hết 4 * 2 k . Tôi không chắc chắn liệu sự phụ thuộc theo cấp số nhân này vào kH k c w ( H ) ≤ 2 k ( c w ( G ) + 1 ) $G$$H$$k$$cw(H) \leq 2^k (cw(G) + 1)$$G$$H$$k$$cw(H) \leq 2^k (3 + 1)$$\mathcal{G}_k$$4*2^k$$k$là cần thiết. Trong bối cảnh này, tôi cũng sẽ quan tâm đến việc giảm tối đa trong cliquewidth bằng cách xóa một đỉnh; tức là nếu chúng ta xóa một đỉnh duy nhất khỏi biểu đồ, thì cliquewidth có thể giảm bao nhiêu?

Tôi sẽ cố gắng trả lời câu hỏi cũ này của bạn, mặc dù tôi không chắc câu trả lời của tôi là kết luận nhưng nó sẽ chỉ cho bạn đi đúng hướng.

Đầu tiên chúng ta hãy thảo luận về chiều rộng clique tuyến tính. Nếu một đồ thị có độ rộng clique tuyến tính và thêm 1 đỉnh vào đồ thị, thì đỉnh đó luôn có thể được đặt đầu tiên theo thứ tự với một màu duy nhất. Do đó chiều rộng clique tuyến tính chỉ tăng tối đa 1 khi bạn thêm một đỉnh.$k$$1$

Gurski và Wanke đã cho thấy trong "Về mối quan hệ giữa chiều rộng NLC và chiều rộng NLC tuyến tính" mà các đồ thị có độ rộng tuyến tính không giới hạn.

Vì các cograph có chiều rộng clique tuyến tính không giới hạn nhưng chiều rộng clique giới hạn, bất kỳ phân rã clique tốt phải có cấu trúc cây. Chúng ta phải chứng minh rằng chúng ta có thể buộc nhiều nhánh sâu tùy ý. Bây giờ chúng ta làm như chúng ta làm cho cây, xây dựng một cây với 2 ^ k lá thêm k đỉnh và mỗi lá được kết nối với một tập hợp con duy nhất của các đỉnh mới.