Thứ tự tôpô tích cực, mất 2

Đây là phần tiếp theo của câu hỏi gần đây của David Eppstein và được thúc đẩy bởi những vấn đề tương tự.

Giả sử tôi có một dag với trọng số thực trên các đỉnh của nó. Ban đầu, tất cả các đỉnh không được đánh dấu. Tôi có thể thay đổi tập hợp các đỉnh được đánh dấu bằng (1) đánh dấu một đỉnh không có tiền thân không được đánh dấu hoặc (2) không đánh dấu một đỉnh không có dấu kế. (Do đó, tập hợp các đỉnh được đánh dấu luôn là tiền tố của thứ tự từng phần.) Tôi muốn tìm một chuỗi các hoạt động đánh dấu / bỏ đánh dấu kết thúc với tất cả các đỉnh được đánh dấu, sao cho tổng trọng số của các đỉnh được đánh dấu luôn không âm .

• Làm thế nào khó là tìm thấy một chuỗi các hoạt động như vậy? Không giống như vấn đề của David , thậm chí không rõ vấn đề này nằm ở NP; về nguyên tắc (mặc dù tôi không có bất kỳ ví dụ nào) mọi chuỗi di chuyển hợp pháp có thể có độ dài theo cấp số nhân. Điều tốt nhất tôi có thể chứng minh là vấn đề nằm ở PSPACE.

• Là hoạt động bỏ đánh dấu thực sự không cần thiết? Nếu có một chuỗi di chuyển hợp lệ, phải có một chuỗi di chuyển hợp lệ không bao giờ bỏ đánh dấu một đỉnh? Một câu trả lời khẳng định sẽ làm cho vấn đề này giống hệt với David . Mặt khác, nếu đôi khi không đánh dấu là cần thiết, cần có một ví dụ nhỏ (kích thước không đổi) chứng minh điều đó.

Trong hội thảo nghiên cứu thường xuyên 666 của chúng tôi, chúng tôi đã đưa ra bằng chứng sau đây.

Chúng tôi bắt đầu với một số định nghĩa. Đặt P là vị trí của chúng ta. Để đơn giản, giả sử rằng không có trọng số nào tổng bằng không. Suy ra trọng số của một đỉnh bằng w (x) và tổng trọng số của một tập hợp theo w (X). Chúng tôi nói rằng một bộ X là Y-up (đã đóng) nếu nó được chứa trong Y và mọi phần tử của Y lớn hơn một phần tử của X cũng nằm trong X. Tương tự, hãy nói rằng một bộ X là Y-down nếu nó được chứa trong Y và mọi phần tử của Y nhỏ hơn một phần tử của X cũng nằm trong X. Trong ngôn ngữ này, tập hợp các phần tử được đánh dấu phải luôn luôn là P-down.

Chúng tôi chứng minh bằng mâu thuẫn. Lấy chuỗi đánh dấu / đánh dấu ngắn nhất đánh dấu mọi phần tử. Chúng tôi gọi những chuỗi như vậy đầy đủ. Tại bất kỳ thời điểm nào, hãy xem xét tập hợp các yếu tố đã được đánh dấu trước đó nhưng hiện không được đánh dấu. Biểu thị bộ này của U.

Yêu cầu: w (U)> 0.

Bằng chứng: Chúng tôi chứng minh rằng trọng số của bất kỳ bộ U-up nào, X, là dương. Bằng chứng là do cảm ứng trên kích thước của X. Nếu có một bộ X xuống, Y, sao cho w (Y)> 0, thì do cảm ứng chúng ta biết rằng w (X \ Y)> 0 (vì nó là X-up), chúng tôi cũng có w (X)> 0. Nếu với mọi tập hợp X xuống, Y, chúng ta có w (Y) <0, thì bằng cách xóa đến thời điểm này tất cả các dấu và không đánh dấu của các phần tử của X từ chuỗi của chúng ta, chúng ta sẽ có được một chuỗi đầy đủ ngắn hơn. Chúng tôi được thực hiện với bằng chứng của yêu cầu.

Bây giờ giả sử rằng chúng ta có một chuỗi đầy đủ trong đó w (U)> 0 tại bất kỳ điểm nào cho tập hợp U của các phần tử hiện không được đánh dấu. Lấy trình tự mà chúng tôi có được từ điều này bằng cách đánh dấu đầu tiên của mọi yếu tố và không bao giờ bỏ đánh dấu bất cứ điều gì. Rõ ràng rằng đây cũng sẽ là một chuỗi đầy đủ thỏa mãn rằng tập hợp các phần tử được đánh dấu luôn luôn là P-down. Hơn nữa, tổng các trọng số sẽ luôn ít nhất bằng với chuỗi ban đầu vì tại bất kỳ thời điểm nào, sự khác biệt là w (U). Chúng ta xong rồi.

Với phương pháp này, người ta thậm chí có thể chứng minh rằng nếu thay vì đánh dấu toàn bộ P, chúng ta chỉ muốn đánh dấu một tập hợp con của P, thì nó có thể được thực hiện bằng một chuỗi các đánh dấu theo sau là một chuỗi các đánh dấu. Bằng chứng là như nhau ngoại trừ ở cuối một số phần tử, U, không được đánh dấu nhưng chúng có thể được chuyển đến cuối chuỗi vì trọng số của bất kỳ bộ U-up nào là dương.