Họ Sperner tối đa hóa các tập hợp con của một phân vùng

Hãy $A$ là một tập hợp các kích thước $k$ và $B$ là một tập hợp các kích thước $\ell$ , cho cố định $k$ và $\ell$ , và như vậy mà $A\cap B=\emptyset$ . Gia đình (hoặc a) Sperner $\mathcal{F}$ trên $A\cup B$ gì mà $\mathcal{F}_B=\{C\cap B ~:~ C\in\mathcal{F}\}$ được tối đa hóa?

Tôi thực sự chỉ cần một giới hạn trên để $|\mathcal{F}_B|$ (có thể là một cái gì đó tốt hơn so với $2^\ell$ , mà dường như là lỏng lẻo nếu $2^k<\ell$ )

Bất kỳ gợi ý hoặc tài liệu tham khảo nơi loại thông tin hoặc tài liệu liên quan có thể được tìm thấy sẽ được đánh giá cao. Cảm ơn.

reference-request co.combinatorics

— Matteo
nguồn

Giới hạn trên chính xác là tổng của $2^k$ hệ số nhị thức trung tâm nhất: hoặc chỉ nếu . Các bộ là antichains. Theo bất đẳng thức LYM, liên kết của antichains không thể lớn hơn tổng của các hệ số nhị thức lớn nhất . Để đạt được giới hạn, hãy để và để

| F_{B} | \leq (\binom{ℓ}{⌊ (ℓ - 2^{k}) / 2 + 1 ⌋}) + \dots + (\binom{ℓ}{⌊ (ℓ + 2^{k}) / 2 ⌋}),

$|\mathcal{F}_B|\leq\binom \ell {\lfloor (\ell - 2^k)/2+1\rfloor} + \dots + \binom \ell {\lfloor(\ell + 2^k)/2\rfloor},$

| F_{B} | \leq 2^{ℓ}

$|\mathcal{F}_B|\leq 2^\ell$

2^{k} \geq ℓ + 1

$2^k\geq \ell+1$

{B \cap C ∣ C \in F and A \cap C = A^{'}}

$\{B\cap C\mid C\in\mathcal F\text{ and }A\cap C=A'\}$

2^{k}

$2^k$

2^{k}

$2^k$

A = {a_{0}, \dots, a_{k - 1}}

$A=\{a_0,\dots,a_{k-1}\}$

F = {C \subseteq A \cup B ∣ ⌊ (ℓ + 2^{k}) / 2 ⌋ - \sum_{i : a_{i} \in C} 2^{i} = | C \cap B |} .

$\mathcal F=\left\{C\subseteq A\cup B \mid \lfloor(\ell + 2^k)/2\rfloor- \sum_{i\colon a_i\in C} 2^i=|C\cap B| \right\}.$

— Colin McQuillan
nguồn

Cảm ơn bạn, Colin. Tôi tin rằng đó là câu trả lời chính xác, vì chúng tôi đã nhận được kết quả tương tự theo cách phức tạp hơn nhiều.

— Matteo