Tính toán đóng cửa công đoàn

Cho một họ có tối đa tập con của . Việc đóng cửa công đoàn là một gia đình bộ có chứa tất cả các thiết lập có thể được xây dựng bằng cách tham gia công đoàn trong tổng số 1 hoặc nhiều bộ trong . Bởichúng ta biểu thị số lượng các bộ trong . $\mathcal F$ $n$ $\{ 1, 2, \dots, n \}$ $\mathcal F$ $\mathcal C$ $\mathcal F$ $|\mathcal C|$ $\mathcal C$

Cách nhanh nhất để tính đóng cửa công đoàn là gì?

Tôi đã chỉ ra sự tương đương giữa việc đóng liên minh và liệt kê tất cả các tập độc lập tối đa trong biểu đồ lưỡng cực, do đó chúng tôi biết rằng việc quyết định kích thước của đóng liên minh là # P-hoàn thành.

Tuy nhiên, có một cách để liệt kê tất cả các tập độc lập tối đa (hoặc các nhóm tối đa) trong thời gian cho một đồ thị có nút và cạnh Tsukiyama et al. 1977. Nhưng đây không phải là chuyên ngành cho đồ thị lưỡng cực. $O(|\mathcal C| \cdot nm)$ $n$ $m$

Chúng tôi đã đưa ra một thuật toán cho đồ thị lưỡng cực với thời gian chạy http://www.ii.uib.no/~martinv/Papers/BooleanWidth_I.pdf $|\mathcal C| \cdot \log |\mathcal C| \cdot n^2$

Phương pháp của chúng tôi dựa trên quan sát rằng bất kỳ phần tử nào trong đều có thể được tạo bởi sự kết hợp của một số phần tử khác của và một trong các bộ ban đầu. Do đó, bất cứ khi nào chúng ta sẽ thêm một phần tử vào hãy cố gắng mở rộng nó bằng một trong bộ gốc. Đối với mỗiđặt chúng ta cần phải kiểm tra xem họ vẫn còn trong . Chúng tôi lưu trữ dưới dạng cây tìm kiếm nhị phân, vì vậy mỗi lần tra cứu sẽ có thời gian. $C$ $C$ $C$ $n$ $n \cdot |C|$ $C$ $C$ $\log |C| \cdot n$

Có thể tìm thấy thời gian đóng liên minh trong thời gian không? Hoặc thậm chí trong thời gian ? $\mathcal C$ $O(|\mathcal C| \cdot n^2)$ $O(|\mathcal C| \cdot n)$

— Martin Vatshelle
nguồn

Trong sự tương đương mà bạn đã thể hiện giữa đóng cửa công đoàn và tối đa ind. thiết lập trong đồ thị lưỡng cực, sự tương đương là một mệnh đề? Hay nói cách khác, trong thuật toán của bạn để liệt kê tất cả các hỗn hợp ind. bộ đồ thị lưỡng cực, là

số lượng tối đa ind. bộ?

| C |

$|C|$

— Vinayak Pathak

Vâng, đó là một sự lựa chọn vì vậy

là số lượng tập độc lập tối đa. (lưu ý rằng khoảng trống phải được xác định là bằng

| C |

$|C|$

C

$C$

— Martin Vatshelle

Mặc dù điều này không giúp ích gì cho câu hỏi của bạn, nhưng điều bạn đang hỏi là một trường hợp đặc biệt của việc tính toán việc đóng các phần tử trong mạng và tôi tự hỏi liệu có kết quả nào từ đó có thể hữu ích không.

— Suresh Venkat

Khảo sát tôi chỉ ra trong câu trả lời của tôi dưới đây đưa ra một số liên kết với mạng tinh thể.

— M. kanté

Độ phức tạp của việc liệt kê các tập độc lập tối đa trong các biểu đồ cũng giống như trong các biểu đồ lưỡng cực, do đó tính lưỡng cực không mang lại điều gì mới.

Bạn có một thuật toán (có không gian hàm mũ) trong , nhưng không có thuật toán không gian đa thức nào đạt được độ phức tạp thời gian này. Bài viết sau đây http://www.scTHERirect.com/science/article/pii/S0166218X08004563 là một khảo sát tốt. $O(|C|\cdot n^2)$

— M.Kanté
nguồn