Sự mạnh mẽ của việc chia tách một junta

Chúng tôi nói rằng hàm Boolean là một -junta nếu có nhiều nhất biến ảnh hưởng.$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$k$$f$$k$

Đặt là -junta. Suy ra các biến của theo . Khắc phục Rõ ràng, tồn tại sao cho chứa ít nhất các biến ảnh hưởng của .$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$2k$$f$$x_1, x_2, \ldots, x_n$

$$S_1 = \left\{ x_1, x_2, \ldots, x_{\frac{n}{2}} \right\},\quad S_2 = \left\{ x_{\frac{n}{2} + 1}, x_{\frac{n}{2} + 2}, \ldots, x_n \right\}.$$ $S \in \{S_1, S_2\}$$S$$k$$f$

Bây giờ, hãy để và giả sử rằng là -far từ mỗi -junta (nghĩa là người ta phải thay đổi một phần của ít nhất của các giá trị của để biến nó thành -junta). Chúng ta có thể tạo một phiên bản "mạnh mẽ" của tuyên bố trên không? Đó là, có một hằng số chung và một tập hợp sao cho là -far từ mọi hàm có nhiều nhất biến ảnh hưởng trong ?$\epsilon > 0$$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$\epsilon$$2k$$\epsilon$$f$$2k$$c$$S \in \{S_1, S_2\}$$f$$\frac{\epsilon}{c}$$k$$S$

Lưu ý: Trong công thức ban đầu của câu hỏi, được cố định là . Ví dụ của Neal cho thấy giá trị như vậy của không đủ. Tuy nhiên, vì trong thử nghiệm tài sản, chúng tôi thường không quá quan tâm đến hằng số, tôi đã nới lỏng điều kiện một chút.$c$$2$$c$

Câu trả lời là có Bằng chứng là do mâu thuẫn.

Để thuận tiện cho công chứng, chúng ta hãy biểu thị biến đầu tiên theo và biến thứ hai theo . Giả sử là - đóng vào hàm chỉ phụ thuộc vào tọa độ của . Biểu thị tọa độ ảnh hưởng của nó bằng . Tương tự, giả sử là - đóng vào hàm chỉ phụ thuộc vào tọa độ của . Biểu thị tọa độ ảnh hưởng của nó bằng . Chúng ta cần chứng minh rằngx n / 2 y f ( x , y ) δ f 1 ( x , y ) k x T 1 f ( x , y ) δ f 2 ( x , y ) k y T 2 f 4 δ 2 $n/2$$x$$n/2$$y$$f(x,y)$$\delta$$f_1(x,y)$$k$$x$$T_1$$f(x,y)$$\delta$$f_2(x,y)$$k$$y$$T_2$$f$ là - gần với -junta ˜ f ( x , y ) .$4\delta$$2k$$\tilde f(x,y)$

Hãy để chúng tôi nói rằng nếu và đồng ý với tất cả các tọa độ trong và và đồng ý với tất cả các tọa độ trong . Chúng tôi chọn ngẫu nhiên một đại diện ngẫu nhiên từ mỗi lớp tương đương. Đặt là đại diện cho lớp của . Xác định như sau: x 1 x 2 T 1 y 1 y 2 T 2 ( ˉ x , ˉ y ) ( x , y ) ~ f ~ f ( x , y ) = f ( ˉ x , ˉ y ) $(x_1,y_1) \sim (x_2,y_2)$$x_1$$x_2$$T_1$$y_1$$y_2$$T_2$$(\bar x, \bar y)$$(x,y)$$\tilde f$

$$\tilde f(x,y) = f(\bar x, \bar y).$$

Rõ ràng là là -junta (nó chỉ phụ thuộc vào các biến trong . Chúng tôi sẽ chứng minh rằng nó ở khoảng cách so với trong kỳ vọng. 2kT1∪T2)4δ$\tilde f$$2k$$T_1 \cup T_2)$$4\delta$$f$

Chúng tôi muốn chứng minh rằng trong đó và được chọn thống nhất một cách ngẫu nhiên. Hãy xem xét một vectơ ngẫu nhiên thu được từ bằng cách giữ tất cả các bit trong và lật ngẫu nhiên tất cả các bit không nằm trong và một vectơ được định nghĩa tương tự. Lưu ý rằng xy ˜ x x T 1 T 1 ˜ y Pr

$$\Pr_{\tilde f}(\Pr_{x,y}(\tilde f(x,y) \neq f(x,y))) = \Pr(f(\bar x, \bar y) \neq f(x,y)) \leq 4\delta,$$ $x$$y$$\tilde x$$x$$T_1$$T_1$$\tilde y$ $$\Pr(\tilde f(x,y) \neq f(x,y)) = \Pr(f(\bar x, \bar y) \neq f(x,y))= \Pr(f(\tilde x, \tilde y) \neq f(x,y)).$$

Chúng tôi có,

$$\Pr(f(x,y) \neq f(\tilde x, y)) \leq \Pr(f(x,y) \neq f_1(x, y)) + \Pr(f_1(x,y) \neq f_1(\tilde x, y)) + \Pr(f_1(\tilde x,y) \neq f(\tilde x, y)) \leq \delta + 0 + \delta = 2\delta.$$

Tương tự, . Chúng ta có QEDPr ( f ( ˉ x , ˉ y ) ≠ f ( x , y ) ) ≤ 4 δ $\Pr(f(\tilde x,y) \neq f(\tilde x, \tilde y)) \leq 2\delta$

$$\Pr(f(\bar x, \bar y) \neq f(x,y)) \leq 4\delta.$$

Thật dễ dàng để der derizeize bằng chứng này. Với mọi , hãy nếu với hầu hết trong lớp tương đương của và , nếu không.˜ f ( x , y ) = 1 f ( x , y ) = 1 ( x ′ , y ′ ) ( x , y ) ˜ f ( x , y ) = $(x,y)$$\tilde f(x,y) = 1$$f(x,y) = 1$$(x',y')$$(x,y)$$\tilde f(x,y) = 0$

nhỏ nhất mà ràng buộc giữ cho là .c = $c$$c = \frac{1}{\sqrt 2 - 1} \approx 2.41$

Bổ đề 1 và 2 cho thấy ràng buộc giữ cho điều này . Bổ đề 3 cho thấy ràng buộc này là chặt chẽ.$c$

(So ​​sánh, đối số xác suất thanh lịch của Juri cho )$c=4$

Đặt . Bổ đề 1 đưa ra giới hạn trên cho .k=$c=\frac{1}{\sqrt 2 - 1}$$k=0$

Bổ đề 1: Nếu là -gần một hàm không có biến ảnh hưởng trong và là -gần một hàm không có biến ảnh hưởng trong , thì là -gần một hàm hằng, trong đó .ϵ g g S 2 f ϵ h h S 1 f ϵ ϵ ≤ ( ϵ g + ϵ h ) /$f$$\epsilon_g$$g$$S_2$$f$$\epsilon_h$$h$$S_1$$f$$\epsilon$$\epsilon \le \frac{(\epsilon_g+\epsilon_h)/2}{c}$

Bằng chứng. Đặt là khoảng cách từ đến hàm hằng. Giả sử cho mâu thuẫn rằng không thỏa mãn bất đẳng thức được yêu cầu. Đặt và và viết , và là , và , vì vậy độc lập với và độc lập .f ϵ y = ( x 1 , x 2 , Mạnh , x n / 2 ) z = ( x n / 2 + 1 , Câu , x n ) f g h f ( y , z ) g ( y , z ) h ( y , z ) g ( y , z $\epsilon$$f$$\epsilon$$y=(x_1,x_2,\ldots,x_{n/2})$$z=(x_{n/2}+1,\ldots,x_n)$$f$$g$$h$$f(y,z)$$g(y,z)$$h(y,z)$$g(y,z)$h ( y , z ) $z$$h(y,z)$$y$

(Tôi thấy hữu ích khi hình dung là nhãn cạnh của đồ thị lưỡng cực hoàn chỉnh với các bộ đỉnh và , trong đó đưa ra nhãn gắn đỉnh của và đưa ra ghi nhãn đỉnh của .){ y } { z } g { y } h { z $f$$\{y\}$$\{z\}$$g$$\{y\}$$h$$\{z\}$

Đặt là phân số của các cặp sao cho . Đặt là phân số của các cặp sao cho . Tương tự, đặt là phân số của các cặp sao cho và gọi là phân số của các cặp sao cho . ( y , z ) g ( y , z ) = 0 g 1 = 1 - g 0 g ( y , z ) = 1 h 0 h ( y , z ) = 0 h 1 h ( y , z ) = $g_0$$(y,z)$$g(y,z) = 0$$g_1=1-g_0$$g(y,z) = 1$$h_0$$h(y,z) = 0$$h_1$$h(y,z) = 1$

Không mất tính tổng quát, giả sử rằng, với bất kỳ cặp nào sao cho , nó cũng giữ rằng . (Mặt khác, việc chuyển đổi giá trị của cho phép chúng ta giảm cả và xuống , trong khi giảm xuống tối đa , do đó, hàm kết quả vẫn là một ví dụ ngược lại.) Nói bất kỳ cặp nào như vậy là '`trong thỏa thuận' '.f ( y , z ) = g ( y , z ) = h ( y , z ) f ( y , z ) ε g ε h 1 / 2 n ε 1 / 2 $g(y,z) = h(y,z)$$f(y,z) = g(y,z) = h(y,z)$$f(y,z)$$\epsilon_g$$\epsilon_h$$1/2^n$$\epsilon$$1/2^n$

Khoảng cách từ đến cộng với khoảng cách từ đến là tỷ lệ của các cặp không đồng ý. Đó là, .g f h ( x , y ) ϵ g + ϵ h = g 0 h 1 + g 1 h $f$$g$$f$$h$$(x,y)$$\epsilon_g + \epsilon_h = g_0 h_1 + g_1 h_0$

Khoảng cách từ đến hàm all-zero tối đa là .1 - g 0 h $f$$1 - g_0 h_0$

Khoảng cách từ đến chức năng tất cả mọi người nhiều nhất là .1 - g 1 h $f$$1-g_1 h_1$

Hơn nữa, khoảng cách từ đến hàm hằng gần nhất nhiều nhất là .1 /$f$$1/2$

Do đó, tỷ lệ nhiều nhất là trong đó và và .phút ( 1 / 2 , 1 - g 0 h 0 , 1 - g 1 h 1$\epsilon/(\epsilon_g+\epsilon_h)$g0,h0∈[0,1]g1=1-g0h1=1-h

$$\frac{\min(1/2, 1-g_0 h_0, 1-g_1 h_1)}{g_0 h_1 + g_1 h_0},$$ $g_0,h_0 \in [0,1]$$g_1 = 1-g_0$$h_1=1-h_0$

Theo tính toán, tỷ lệ này nhiều nhất là . QED$\frac{1}{2(\sqrt 2 - 1)} = c/2$

Bổ đề 2 mở rộng Bổ đề 1 đến tổng quát bằng cách lập luận theo chiều dọc, trên mọi cài đặt có thể có của các biến ảnh hưởng . Hãy nhớ lại rằng .2 k c = $k$$2k$$c=\frac{1}{\sqrt 2 - 1}$

Bổ đề 2: Khắc phục mọi . Nếu là -gần một hàm có ảnh hưởng đến các biến trong và là -gần một hàm có ảnh hưởng đến các biến trong , thì là -gần một hàm có nhiều nhất là biến ảnh hưởng, trong đó .f ε g g k S 2 f ε h h k S 1 f ε f 2 k ε ≤ ( ε g + ε h ) /$k$$f$$\epsilon_g$$g$$k$$S_2$$f$$\epsilon_h$$h$$k$$S_1$$f$$\epsilon$$\hat f$$2k$$\epsilon \le \frac{(\epsilon_g+\epsilon_h)/2}{c}$

Bằng chứng. Tốc là nơi chứa các biến trong với chứa những ảnh hưởng , trong khi chứa các biến trong với chứa những ảnh hưởng . Vậy độc lập với và độc lập .f ( a , y , b , z ) ( a , y ) S 1 a h ( b , z ) S 2 b g g ( a , y , b , z ) z h ( a , y , b , z ) $f$$f(a,y,b,z)$$(a,y)$$S_1$$a$$h$$(b,z)$$S_2$$b$$g$$g(a,y,b,z)$$z$$h(a,y,b,z)$$y$

Đối với mỗi giá trị cố định của và , hãy xác định và xác định và tương tự từ và tương ứng. Đặt là khoảng cách từ các cặp đến (giới hạn ở các cặp ). Tương tự, hãy đặt là khoảng cách từ đến .b F a b ( y , z $a$$b$G một b H một b g h ε g một b F một b G một b ( y , z ) ε h một b F một b H a $F_{ab}(y,z) = f(a,y,b,z)$$G_{ab}$$H_{ab}$$g$$h$$\epsilon^g_{ab}$$F_{ab}$$G_{ab}$$(y,z)$$\epsilon^h_{ab}$$F_{ab}$$H_{ab}$

Theo bổ đề 1, tồn tại hằng số sao cho khoảng cách (gọi nó là ) từ đến hàm hằng là tối đa . Xác định . ε một b F một b c một b ( ε h một b + ε g một b ) / ( 2 c ) f ( một , y , b , z ) = c một $c_{ab}$$\epsilon_{ab}$$F_{ab}$$c_{ab}$$(\epsilon^h_{ab} + \epsilon^g_{ab})/(2c)$$\hat f(a,y,b,z) = c_{ab}$

Rõ ràng chỉ phụ thuộc vào và (và do đó nhiều nhất là biến). mộtb$\hat f$$a$$b$$k$

Đặt là trung bình, trên các cặp của ', sao cho khoảng cách từ đến là . ( một , b ) ε một b f f ε $\epsilon_{\hat f}$$(a,b)$$\epsilon_{ab}$$f$$\hat f$$\epsilon_{\hat f}$

Tương tự, khoảng cách từ đến và từ đến (nghĩa là và là trung bình, trên các cặp , tương ứng, và .g f h ε g ε h ) ( một , b ) ε g một b ε h một $f$$g$$f$$h$$\epsilon_g$$\epsilon_h)$$(a,b)$$\epsilon^g_{ab}$$\epsilon^h_{ab}$

Vì cho tất cả , nên nó đi theo . QEDmột , b ε f ≤ ( ε g + ε h ) / ( 2 c $\epsilon_{ab} \le (\epsilon^h_{ab} + \epsilon^g_{ab})/(2c)$$a, b$$\epsilon_{\hat f} \le (\epsilon_g + \epsilon_h)/(2c)$

Bổ đề 3 cho thấy hằng số ở trên là điều tốt nhất bạn có thể hy vọng (ngay cả với và ).k = 0 ε = $c$$k=0$$\epsilon=0.5$

Bổ đề 3: Tồn tại sao cho là -gần hai hàm và , trong đó không có biến ảnh hưởng trong và không có biến ảnh hưởng trong và là -far từ mọi hàm hằng .f ( 0,5 / c ) g h g S 2 h S 1 f $f$$f$$(0.5/c)$$g$$h$$g$$S_2$$h$$S_1$$f$$0.5$

Bằng chứng. Hãy để và là giới hạn, tương ứng, và . Đó là, và .z x S 1 S 2 y = ( x 1 , Rò , x n / 2 ) z = ( x n / 2 + 1 , Mạnh , x n$y$$z$$x$$S_1$$S_2$$y=(x_1,\ldots,x_{n/2})$$z=(x_{n/2+1},\ldots,x_n)$

Xác định mỗi có thể có một phần tử duy nhất là , trong đó . Tương tự, xác định từng có thể có một phần tử duy nhất là . Do đó, chúng tôi nghĩ rằng là một hàm từ đến .[ N ] N = 2 n / 2 z [ N ] f [ N ] × [ N ] { 0 , 1 $y$$[N]$$N=2^{n/2}$$z$$[N]$$f$$[N]\times[N]$$\{0,1\}$

Xác định là 1 iff .max ( y , z ) ≥ $f(y,z)$$\max(y,z) \ge \frac{1}{\sqrt 2}N$

Theo tính toán, phần giá trị của là 0 là , vì vậy cả hai hàm hằng có khoảng cách đến .( $f$$(\frac{1}{\sqrt 2})^2 = \frac{1}{2}$$\frac{1}{2}$$f$

Xác định là 1 khi và chỉ khi . Sau đó không có biến ảnh hưởng trong . Khoảng cách từ đến là phần của cặp như vậy mà và . Theo tính toán, đây là tối đay ≥ $g(y,z)$gS2fg(y,z)y<$y\ge \frac{1}{\sqrt 2}N$$g$$S_2$$f$$g$$(y,z)$z≥$y<\frac{1}{\sqrt 2}N$$z\ge \frac{1}{\sqrt 2}N$$\frac{1}{\sqrt 2}(1-\frac{1}{\sqrt2}) = 0.5/c$

Tương tự, khoảng cách từ đến , trong đó iff , nhiều nhất là .h h ( y , z ) = 1 z ≥ $f$$h$$h(y,z)=1$0,5/$z\ge \frac{1}{\sqrt 2}N$$0.5/c$

QED