Phân phối xác suất độ sâu giới hạn

Hai câu hỏi liên quan về tính toán độ sâu giới hạn:

1) Giả sử rằng bạn bắt đầu với n bit và để bắt đầu với bit i có thể là 0 hoặc 1 với một số xác suất p (i), độc lập. (Nếu nó làm cho vấn đề đơn giản hơn, chúng ta có thể giả sử rằng tất cả p (i) là 0,1 hoặc 1/2.hoặc thậm chí tất cả chúng là 1/2.)

Bây giờ bạn thực hiện một số lượng giới hạn của vòng tính toán. Trong mỗi vòng, bạn áp dụng các cổng cổ điển có thể đảo ngược trên các tập bit rời rạc. (Sửa bộ cổng đảo ngược cổ điển yêu thích của bạn.)

Cuối cùng, bạn nhận được phân phối xác suất trên chuỗi trên n bit. Có kết quả về việc hạn chế phân phối như vậy?

Tôi đang tìm kiếm một cái gì đó tương tự với chuyển đổi của Hastad, Boppana cho thấy tổng ảnh hưởng là nhỏ hoặc định lý LMN.

2) Câu hỏi tương tự như 1) nhưng với các mạch lượng tử có chiều sâu giới hạn.

Có một số bài báo tương đối gần đây của Emanuele Viola và cộng sự, đề cập đến sự phức tạp của các phân phối lấy mẫu. Họ tập trung vào mô hình tính toán hạn chế, như cây quyết định độ sâu giới hạn hoặc mạch độ sâu giới hạn.

Thật không may, họ không thảo luận về cổng đảo ngược. Ngược lại, thường có sự mất mát trong chiều dài đầu ra. Tuy nhiên, những giấy tờ này có thể là một điểm khởi đầu tốt.

Mạch giới hạn-sâu không thể lấy mẫu mã tốt

Sự phức tạp của phân phối

Câu trả lời ngắn.

Đối với các mạch lượng tử, có ít nhất một kết quả không kích thích: các mạch lượng tử có độ sâu giới hạn tùy ý không có khả năng mô phỏng với sai số nhân nhỏ trong xác suất của kết quả, ngay cả đối với các mạch cổ điển đa thức .

Điều này, tất nhiên, không cho bạn biết những thay đổi nào mà mạch thực sự sẽ có; đặc biệt nếu bạn quan tâm đến các vấn đề quyết định với lỗi giới hạn, thay vì phân phối xác suất. Tuy nhiên, điều đó có nghĩa là một phân tích về các cây quyết định, như với Lemma Switching của Håstad , không có khả năng được đưa ra để mô phỏng cổ điển các mạch này.$\mathsf{QNC^0}$

Chi tiết

Chúng tôi có thể xem xét định nghĩa của các mạch lượng tử độ sâu polylog được đưa ra bởi Fenner et al. (2005) :

$\mathsf{QNC^k}$ p C n n p ( n ) O ( log k ( n ) $\{C_n\}_{n\geqslant0}$$p$$C_n$$n$$p(n)$$O(\log^k(n))$

Các cổng qubit đơn phải từ một tập hữu hạn cố định, mặc dù điều này đủ để mô phỏng bất kỳ đơn vị cố định nào trên một số lượng qubit không đổi đến bất kỳ độ chính xác cố định nào. Chúng tôi cũng cho phép bất kỳ tập hợp con của các qubit ở cuối mạch được sử dụng để biểu diễn đầu ra của họ mạch (ví dụ: một qubit duy nhất cho các hàm boolean).

Ghi chú của Bremner, Jozsa và Sheppard (2010) (xem Phần 4) rằng, sử dụng sự điều chỉnh của kỹ thuật dịch chuyển cổng do Terhal và DiVincenzo (2004) , lựa chọn sau trên một số qubit trong một Mạch cho phép quyết định các vấn đề trong . Sử dụng kết quả của họ để mô phỏng các mạch được chọn, điều này ngụ ý rằng vấn đề lấy mẫu kinh điển từ phân phối đầu ra của một mạch tùy ý với đầu ra boolean, với lỗi nhân đôi ở hầu hết trong xác suất lấy mẫu, là trong không thể với các mạch độ sâu đa thức ngẫu nhiên trừ khi hệ thống phân cấp đa thức sụp đổ một phần (cụ thể là P o s t B Q P = P P Q N C 0 $\mathsf{QNC^0}$$\mathsf{PostBQP = PP}$$\mathsf{QNC^0}$ PH⊆delta$\sqrt 2$$\mathsf{PH} \subseteq \Delta_3$ ).