Trạng thái nghệ thuật cho hệ thống hướng dương

Tôi thú vị trong hệ thống hướng dương và các ứng dụng của nó trong khoa học máy tính.

Cho một vũ trụ và một tập hợp tập hợp được gọi là hệ thống hoa hướng dương k nếu cho tất cả . Và được gọi là lõi và được gọi là cánh hoa. $U$ $k$ $A_i$ $A_i \cap A_j = Y$ $i \neq j$ $Y$ $A_i - Y$

Một họ các tập hợp được gọi là -uniform là tất cả các tập hợp mà nó chứa phần tử . $F$ $s$ $s$

Erdős và Rado chứng minh rằng đối với một gia đình thống nhất của bộ , phải có một -sunflower cánh hoa hệ thống nếu . $s$ $F$ $F$ $k$ $|F| > s!(k-1)^s$

Kết quả này được gọi là bổ đề hướng dương và có nhiều ứng dụng quan trọng.

Erdős phỏng đoán rằng đối với mỗi có tồn tại một hằng số như vậy mà trên ràng buộc nên mỗi gia đình -uniform . (Phỏng đoán hoa hướng dương) $k$ $c_k$ $c_k^s$ $s$ $F$

Thật không may, phỏng đoán này vẫn mở cho . $k=3$

Đây là những gì tôi muốn biết.

Nếu chúng ta giới hạn số lượng phần tử trong vũ trụ .Suppose = . Sau đó, vấn đề hóa ra là: $U$ $|U|$ $u$

Cho một vũ trụ với yếu tố, và gia đình -uniform của bộ chứa các yếu tố trong , chúng tôi cho là có thể tìm thấy chuỗi các hằng số , , , ... như vậy mà mỗi gia đình -uniform chứa một Hệ thống hoa nếu và . $u$ $s$ $F$ $U$ $c_1$ $c_2$ $c_3$ $s$ $F$ $3$ $|F|>$ $c_i^s$ $|U|=i$

Hơn nữa, nếu chúng ta có thể chứng minh rằng chuỗi hội tụ đến một hằng số , thì có vẻ như chúng ta có thể chứng minh phỏng đoán hoa hướng dương. $c_i$ $c$

Nhưng tôi không thể tìm thấy kết quả như vậy. Có thể cách tiếp cận này quá ngu ngốc hoặc quá khó.

Bất cứ ai có thể cung cấp trạng thái của nghệ thuật bổ đề hoa hướng dương và phỏng đoán (phiên bản hữu hạn cũng OK).

Đây là một số tôi có thể cung cấp. Có một chương trong cuốn sách của Junka The Comemator Combinatorics.

Bài viết trên là một trong những ứng dụng của nó (phiên bản hữu hạn)

Trên hoa hướng dương và nhân ma trận N Alon et.al

co.combinatorics set-theory

— Yao Wang
nguồn

Dường như không có nhiều công việc trực tiếp trên nó ngoài các ứng dụng mới và các bài báo gần đây mà bạn trích dẫn, điều này có thể làm tăng sự quan tâm và là nơi tốt nhất để bắt đầu giới thiệu (& sách juknas cũng không thể đánh bại). đây là một bản tóm tắt hay về các kết nối của kalai trên blog của anh ấy

— vzn

c_{i}

$c_i$

i = | U |

$i = |U|$

c_{i} = 2^{i}

$c_i = 2^i$

| U |

$|U|$

| U |

$|U|$

| U |

$|U|$

F

$F$

2^{i - ϵ}

$2^{i-\epsilon}$

Tóm lại, tôi đang hỏi liệu chúng ta có thể cải thiện giới hạn dưới không.

— Yao Wang

các Erdős hướng dương giả thuyết có vẻ là rất khó khăn sau khi giờ đây hơn nửa thế kỷ (!) của cởi mở. youve đã liệt kê một số ref tốt nhất và gần đây nhất trên subj sẽ rất khó đánh bại (bài báo gần đây của Alons, cuốn sách của Juknas về tổ hợp). bài báo Alon rất đáng chú ý vì mới liên kết phỏng đoán với giới hạn thấp hơn về nhân ma trận, một lĩnh vực đã chứng kiến sự tiến bộ đột phá gần đây trong kết quả của Williams. [4]

bạn có thể tìm thấy một số điều trị tiếp theo, chủ yếu là các ứng dụng cho lý thuyết mạch cực trị (giới hạn mạch dưới được phát hiện bởi Razborov và được mở rộng bởi những người khác), trong cuốn sách nổi bật của Jukna [1].

một tham chiếu gần đây đáng chú ý / liên quan dọc theo các dòng này dường như không được biết đến rộng rãi hay được trích dẫn cho đến nay là [2] bởi Rossman với một hướng ứng dụng mới (biểu đồ ngẫu nhiên Erdos-Renyi qua các mạch đơn điệu) và người chứng minh kết quả mở rộng và / hoặc mạnh mẽ hơn trên hoa hướng dương "gần như". bài báo là kết quả từ luận án tiến sĩ của ông [3]. từ bản tóm tắt giấy

Chúng tôi giới thiệu một biến thể mới của hoa hướng dương và chứng minh sự tương tự của bổ đề hoa hướng dương có thể được quan tâm độc lập.

[1] Độ phức tạp của hàm Boolean, các tiến bộ và biên giới

[2] Độ phức tạp đơn điệu của k-Clique trên đồ thị ngẫu nhiên (2009) Rossman

[3] Mức độ phức tạp trung bình của việc phát hiện các bản sao của Rossman

[4] Bình luận về đột phá của Williams về sản phẩm ma trận bị ràng buộc thấp hơn Blog của Godels Lost Letter

[5] Tài liệu chi tiết về hoa hướng dương

— vzn
nguồn