Bổ đề đều đặn cho đồ thị thưa thớt

Bổ đề tính thường xuyên của Szemeredi nói rằng mọi đồ thị dày đặc có thể được tính gần đúng như một tập hợp của nhiều đồ thị giãn nở lưỡng cực. Chính xác hơn, có một phân vùng của hầu hết các đỉnh thành các tập hợp sao cho hầu hết các cặp tập hợp tạo thành các bộ mở rộng lưỡng cực (số lượng tập hợp trong phân vùng và tham số mở rộng phụ thuộc vào tham số gần đúng): $O(1)$ $O(1)$

http://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di_THERity_lemma

Có các phiên bản của bổ đề này cho các biểu đồ thưa thớt "hoạt động tốt", xem, ví dụ:

http://www.estatistica.br/~yoshi/MSs/FoCM/spude.pdf

http://people.maths.ox.ac.uk/scott/Papers/sparseregularity.pdf

Điều làm tôi ngạc nhiên về các công thức này là chúng chỉ đảm bảo rằng hầu hết các cặp trong bộ mở rộng dạng bipartite và các bộ mở rộng lưỡng cực này có thể trống. Vì vậy, trong các biểu đồ thưa thớt nói chung, có thể tất cả các cạnh giữa các phần khác nhau trong phân vùng của các đỉnh không thuộc về một phần mở rộng.

Tôi tự hỏi liệu có những công thức đưa ra rằng hầu hết các cạnh giữa các bộ phận là từ một bộ mở rộng, hoặc liệu không có hy vọng cho một công thức như vậy.

graph-theory co.combinatorics expanders

— Dana Moshkovitz
nguồn

Nhưng có vẻ như trực quan rằng thm, dành cho đồ thị dày đặc, bị phá vỡ theo một số cách trên những cái thưa thớt? lưu ý rằng giới thiệu wikipedia được liên kết với thực tế không nói gì về biểu đồ mở rộng cho thấy nó thực sự có thể là một cách giải thích / xây dựng sau này ...

— vzn

(1) Thuật ngữ thông thường cho các cặp tập hợp ứng xử tốt là "cặp thông thường" (Trong cặp "giả ngẫu nhiên" trong Wikipedia). Tôi đã thay thế nó bằng "bộ mở rộng lưỡng cực" bởi vì tôi thấy thuật ngữ này tự nhiên hơn đối với tôi. Trong mọi trường hợp, ý định là nếu bạn chọn các tập con đủ lớn từ cả hai phía của cặp, số cạnh giữa các tập con tỷ lệ thuận với số cạnh trong cặp. (2) Tất nhiên những gì đúng với đồ thị dày đặc có thể không còn đúng với đồ thị thưa thớt. Câu hỏi của tôi là chính xác về mức độ mà các thuộc tính từ trường hợp dày đặc tiếp tục giữ trong trường hợp thưa thớt.

— Dana Moshkovitz

Dưới đây là một câu trả lời dài dòng, nhưng tl; dr trong trường hợp chung không có hy vọng cho một công thức như vậy, nhưng đối với nhiều lớp học đặc biệt của đồ thị thưa thớt có đều đặn bổ đề xây dựng này tồn tại.

$\varepsilon > 0$ $n$ $G = (V, E)$ $V = V_0 \cup V_1 \cup \dots \cup V_p$ $p = O_{\varepsilon}(1)$

$|V_0| \le \varepsilon n$ $V_1, \dots, V_p$ $1$ $V_0$ $\varepsilon p^2$ $(V_i, V_j)$
$| d (S, T) - d (V_{i}, V_{j}) | < ε for all S \subseteq V_{i}, T \subseteq V_{j}$ $\left|d(S, T) - d(V_i, V_j)\right| < \varepsilon \text{ for all } S \subseteq V_i, T \subseteq V_j$ $d(\cdot, \cdot)$

$d i s c (V_{i}, V_{j}) := max_{S \subseteq V_{i}, T \subseteq V_{j}} | V_{i} | | V_{j} | | d (V_{i}, V_{j}) - d (S, T) |,$ $\mathop{disc}(V_i, V_j) := \max \limits_{S \subseteq V_i, T \subseteq V_j} |V_i||V_j|\left|d(V_i, V_j) - d(S, T)\right|,$ $\sum_{i, j = 0}^{p} d i s c (V_{i}, V_{j}) < ε n^{2} .$ $\sum \limits_{i, j =0}^p \mathop{disc}(V_i, V_j) < \varepsilon n^2.$

"Phrasing phrasing" (tôi vừa tạo ra những cái tên này, chúng không chuẩn) là bản gốc và có lẽ nổi tiếng hơn, trong khi "phrasing phân tích" hiện đại hơn và liên quan đến giới hạn đồ thị, v.v. (Tôi nghĩ rằng nó đã được phổ biến ở đây). Trước mắt tôi, phân tích là sự chính thức hóa đúng của "đồ thị xấp xỉ bởi sự kết hợp của các bộ mở rộng lưỡng cực", vì nó đưa ra sự kiểm soát về "lỗi" của một xấp xỉ như vậy, và không có một tập hợp đặc biệt nào để che giấu khối lượng. Nhưng tại thời điểm này đây chỉ là mỹ phẩm, bởi vì đây là một bổ đề dễ dàng nhưng quan trọng là hai cụm từ này tương đương nhau. Để có được từ Kết hợp đến Phân tích, chỉ cần kết hợp sự đóng góp vào sự khác biệt của các phần không đều và tập đặc biệt. Để chuyển từ Phân tích sang Kết hợp, chỉ cần di chuyển bất kỳ phần nào đóng góp quá nhiều sự khác biệt vào tập đặc biệt và áp dụng Bất đẳng thức của Markov để kiểm soát khối lượng của nó.

Bây giờ đến thưa thớt đều đặn. Mục tiêu của quy luật thưa thớt là để thay thế trong sự bất bình đẳng tương ứng với , nơi là phần của tất cả các cạnh có thể trình bày trong . Quan trọng, với sự thay đổi này, hai cụm từ không còn tương đương. Thay vào đó, cụm từ Phân tích mạnh hơn: nó vẫn bao hàm Combinatorial chính xác như trước, nhưng Combinatorial thường không bao hàm Phân tích, bởi vì (như được dự đoán trong OP), người ta có thể ẩn rất nhiều mật độ trong tập đặc biệt hoặc giữa không thường xuyên cặp phần. Thật vậy, sự tách biệt này là chính thức: các biểu đồ ràng buộc thấp hơn cho SRL dày đặc (giả sử, biểu đồ này $\varepsilon$ $\varepsilon d(G)$ $d(G)$ $G$ ) ngụ ý rằng Phân tích Phrasing không mở rộng nói chung thành các biểu đồ thưa thớt, nhưng bài báo của Scott được liên kết trong OP cho thấy Phrasing Combinatorial thực sự mở rộng ra tất cả các biểu đồ thưa thớt không có điều kiện.

Cuộc khảo sát được liên kết trong OP chủ yếu nói về một SRL cho các biểu đồ thưa thớt "trên thường xuyên", điều đó có nghĩa là đồ thị không có vết cắt nào dày hơn trung bình nhiều hơn một hệ số không đổi. Đối với các biểu đồ cụ thể này, các cụm từ Kết hợp và Phân tích là tương đương, vì không thể có quá nhiều khối lượng ẩn trong các phần đặc biệt để đóng góp của chúng vào sự khác biệt có thể được giới hạn như trong trường hợp dày đặc. Vì vậy, các biểu đồ này có một cách giải thích "xấp xỉ bởi sự kết hợp của các bộ mở rộng lưỡng cực".

Cuối cùng, tôi nên đề cập rằng có nhiều giả thuyết khác trong tài liệu cũng ngụ ý sự tương đương giữa các cụm từ này. Ví dụ, Upper (được xác định ở đây ) chung hơn so với Tính thường xuyên trên và vẫn đủ để ngụ ý sự tương đương. Tuy nhiên, đối với lớp biểu đồ này và các lớp khác, tôi chỉ nhận thức được các bổ đề thường xuyên yếu liên quan . $L_p$

— GMB
nguồn

Ngoài ra, xin lỗi về sự cần thiết của chủ đề - điều này chỉ xảy ra để phù hợp với đánh giá sáng hiện tại của tôi và tôi nghĩ rằng tôi sẽ chia sẻ những gì tôi tìm thấy.

— GMB