Độ phức tạp không gian của tính toán Eigenvalues là gì?

Tôi đang tìm một bài khảo sát hoặc một cuốn sách bao gồm các kết quả về độ phức tạp không gian của các phép toán đại số tuyến tính phổ biến như xếp hạng ma trận, tính toán giá trị, v.v. Tôi nhấn mạnh phần "độ phức tạp không gian" có nghĩa là độ phức tạp của không gian làm việc, thay vì độ phức tạp thời gian vì nó dễ dàng hơn để theo dõi kết quả thời gian. Tôi đánh giá cao bất kỳ tài liệu tham khảo trong vấn đề.

Cảm ơn.

linear-algebra space-complexity

— gil
nguồn

Tôi đoán là độ phức tạp luôn luôn ở mức tuyến tính nhất (ví dụ

cho ma trận

). Bạn có quan tâm đến "tổng không gian" hay "không gian làm việc" không?

O (n m)

$O(nm)$

n \times m

$n\times m$

— Yuval Filmus

tôi nên đề cập rằng tôi quan tâm đến không gian làm việc.

— gil

Tôi chắc chắn đó là

cho một

ma trận. Lý do cơ bản là tôi biết hai phương pháp hữu ích để tính toán chúng và cả hai đều là bậc hai trong không gian. Đầu tiên là tính toán đa thức đặc trưng (bậc hai) và tìm gốc. Thứ hai là sử dụng một số phương pháp gần đúng mà tất cả cần lưu trữ một ma trận đã sửa đổi (nhưng tôi không thể giải thích về điều này, đã được một thời gian kể từ khi tôi nghiên cứu đại số tuyến tính số).

O (n^{2})

$\mathcal O(n^2)$

n \times n

$n\times n$

— yo '

Để mở rộng điểm được tạo bởi @Yuval Filmus, độ phức tạp không gian khá nhạy cảm với mô hình tính toán cụ thể. Cụ thể, vì đầu ra là kích thước tuyến tính, người ta có thể chơi các thủ thuật bằng cách sử dụng băng đầu ra làm không gian làm việc trừ khi mô hình chỉ định rõ ràng băng đầu ra chỉ ghi. Để tránh những vấn đề như vậy, tôi sẽ cố gắng viết lại thành các vấn đề quyết định (ví dụ như được đưa ra như ba ma trận đầu vào, kiểm tra xem cái thứ ba có phải là sản phẩm của hai cái đầu tiên không). Bạn có thể chỉ định mô hình bạn có trong tâm trí? (Ngoài ra, tôi cũng không biết về những cuốn sách về sự phức tạp của không gian và cũng không tìm thấy bất kỳ khảo sát hữu ích nào.)

— András Salamon

liên quan đến @ AndrásSalamon, do đó, một phiên bản quyết định hữu ích cho tôi cần có thể là: giá trị bản địa thứ k trong lớn hơn q. cho số nguyên k và q hợp lý. Cảm ơn.

— gil

Câu trả lời:

Các phiên bản quyết định của nhiều vấn đề phổ biến trong đại số tuyến tính trên các số nguyên (hoặc số hữu tỷ) nằm trong lớp , xem bài viết $\mathsf{DET}$

Gerhard Buntrock, Carsten Damm, Ulrich Hertrampf, Christoph Meinel: Cấu trúc và tầm quan trọng của lớp Logspace-MOD. Lý thuyết hệ thống toán học 25 (3): 223-237 (1992)

được chứa trong . $\mathsf{DET}$ $\mathsf{DSPACE}(\log^2)$

Tính toán giá trị bản địa tinh tế hơn một chút:

1) Trong , người ta có thể tính các hệ số của đa thức đặc trưng. $\mathsf{DSPACE}(\log^2)$

2) Sau đó, bạn có thể sử dụng thuật toán song song của Reif và Neff để tính các xấp xỉ cho các giá trị riêng. Thuật toán chạy trên CREW-PRAM trong thời gian logarit với nhiều bộ xử lý đa thức, do đó, nó có thể được mô phỏng với không gian đa logarit. (Nó không được nêu rõ trong bài báo, nhưng PRAM của chúng phải là đồng phục không gian log.) Không gian được sử dụng là polylogarithmic trong kích thước của ma trận đầu vào và độ chính xác . Độ chính xác có nghĩa là bạn nhận được xấp xỉ tới sai số cộng gộp là . $p$ $p$ $2^{-p}$

Đây là sự kết hợp của các hàm tính toán trong không gian đa logarit. (Băng đầu ra chỉ được ghi và oneway.)

C. Andrew Neff, John H. Reif: Một thuật toán hiệu quả cho bài toán Rễ phức tạp. J. Độ phức tạp 12 (2): 81-115 (1996)

— Markus Bläser
nguồn

$log^2$ $NC^2$

— Lior Eldar
nguồn

Độ phức tạp không gian của tính toán Eigenvalues ​​là gì?

Độ phức tạp không gian của tính toán Eigenvalues là gì?