Con trỏ cho các ứng dụng logic của CS

Tôi là một học sinh tốt nghiệp môn toán với một nền tảng vững chắc về logic. Tôi đã tham gia một khóa học sau đại học về logic cùng với các khóa học sau đại học về lý thuyết mô hình hữu hạn và một khóa học khác về lý thuyết bắt buộc và thiết lập. Hầu hết các văn bản CS dường như chỉ giả định một nền tảng rất khiêm tốn về logic, phần lớn bao gồm những điều cơ bản về logic mệnh đề và logic thứ nhất.

Tôi muốn nhận được một số gợi ý về nơi sẽ sử dụng cho các ứng dụng CS nơi sử dụng vật liệu nặng hơn từ logic. Một lợi ích của tôi sẽ là lý thuyết loại và phương pháp chính thức nói chung. Bất cứ ai có thể đề nghị một số bài đọc tốt qua các cuốn sách giới thiệu về kiểm tra mô hình và ngôn ngữ lập trình?

Tôi đã xem xét ngắn gọn một số lĩnh vực ở đây, cố gắng tập trung vào các ý tưởng sẽ thu hút một ai đó có nền tảng về logic toán học nâng cao.

Lý thuyết mô hình hữu hạn

Hạn chế đơn giản nhất của lý thuyết mô hình cổ điển theo quan điểm của khoa học máy tính là nghiên cứu các cấu trúc trên một vũ trụ hữu hạn. Các cấu trúc này xảy ra dưới dạng cơ sở dữ liệu quan hệ, đồ thị và các đối tượng tổ hợp khác phát sinh ở mọi nơi trong khoa học máy tính. Quan sát đầu tiên là một số định lý cơ bản của lý thuyết mô hình bậc nhất thất bại khi bị giới hạn trong các mô hình hữu hạn. Chúng bao gồm định lý độ nén, định lý hoàn chỉnh của Godel và các cấu trúc siêu sản phẩm. Trakhtenbrot đã chỉ ra rằng không giống như logic thứ tự cổ điển đầu tiên, sự thỏa mãn so với các mô hình hữu hạn là không thể giải quyết được.

Các công cụ cơ bản trong lĩnh vực này là địa phương Hanf, địa phương Gaifman và nhiều biến thể của trò chơi Ehrenfeucht-Fraisse. Các chủ đề được nghiên cứu bao gồm logic vô hạn, logic với đếm, logic điểm cố định, vv luôn luôn tập trung vào các mô hình hữu hạn. Có công việc tập trung vào tính biểu cảm trong các đoạn biến thiên hữu hạn của logic thứ nhất và các logic này có đặc tính thông qua các trò chơi cuội. Một hướng điều tra khác là xác định các thuộc tính của logic cổ điển tồn tại trong giới hạn đối với các mô hình hữu hạn. Một kết quả gần đây theo hướng đó từ Rossman cho thấy các định lý bảo toàn đồng hình nhất định vẫn giữ các mô hình hữu hạn.

1. Lý thuyết mô hình hữu hạn , Ebbinghaus và Flum
2. Các yếu tố của lý thuyết mô hình hữu hạn , Libkin
3. Về chiến lược chiến thắng trong các trò chơi Ehrenfeucht-Fraisse , Arora và Fagin, 1997.
4. Định lý bảo toàn đồng hình , Rossman

Mệnh đề -calculus$\mu$

Một dòng công việc từ cuối những năm 60 cho thấy rằng nhiều thuộc tính của các chương trình có thể được thể hiện trong các phần mở rộng của logic mệnh đề hỗ trợ lý luận về các điểm cố định. Các modal- calculus là một logic phát triển trong giai đoạn này đã tìm thấy một loạt các ứng dụng trong phương pháp hình thức tự động. Rất nhiều phương pháp chính thức được kết nối logic tạm thời, hoặc logic Hoare kiểu và phần lớn điều này có thể được xem trong điều khoản của μ -calculus. Trong thực tế, tôi đã nghe nó nói rằng μ -calculus là ngôn ngữ lắp ráp logic thời gian.$\mu$$\mu$$\mu$

$\mu$$\mu$$\mu$$\mu$$\mu$

1. $\mu$
2. $\mu$
3. $\mu$
4. $\mu$
5. Hệ thống phân cấp luân phiên mu-tính toán phương thức rất nghiêm ngặt , Bradfield, 1996
6. Hệ thống phân cấp biến đổi của tính toán mu là nghiêm ngặt , Berwanger, E. Grädel và G. Lenzi, 2005

Logic tạm thời tuyến tính

Logic thời gian tuyến tính đã được áp dụng từ logic triết học vào khoa học máy tính để lý luận về hành vi của các chương trình máy tính. Nó được coi là một logic tốt bởi vì nó có thể thể hiện các thuộc tính như bất biến (không có lỗi) và chấm dứt. Lý thuyết bằng chứng về logic thời gian được phát triển bởi Manna và Pnueli (và những người khác, sau này) trong các bài báo và sách của họ. Việc kiểm tra mô hình và vấn đề thỏa mãn cho LTL đều có thể được giải quyết theo thuật ngữ automata qua các từ vô hạn.

Pnueli cũng đã chứng minh sự phản kháng cơ bản về LTL trong bài viết gốc của mình giới thiệu logic cho lý luận về các chương trình. Vardi và Wolper đã biên soạn các công thức LTL đơn giản hơn nhiều vào Buchi automata. Sự kết nối với logic thời gian đã dẫn đến nghiên cứu mạnh mẽ về các thuật toán để có được hiệu quả automata từ LTL, và để xác định và bổ sung cho Buchi automata. Định lý của Kamp cho thấy LTL từ và cho đến$\omega$$\mu$$\mu$

1. Logic thời gian của các chương trình , Pnueli 1977
2. Từ Church và Trước PSL , Vardi, 2008
3. Một cách tiếp cận lý thuyết tự động đối với logic thời gian tuyến tính , Vardi và Wolper, 1986
4. Logic tạm thời của các hệ thống phản ứng và đồng thời: Đặc điểm kỹ thuật , Manna và Pnueli
5. Cho đến khi phân cấp và các ứng dụng khác của trò chơi Ehrenfeucht-Fraïssé cho logic tạm thời , Etessami và Wilke, 2000

Tính toán cây logic

$\mu$

Vấn đề kiểm tra mô hình cho CTL trên các cấu trúc hữu hạn là trong thời gian đa thức. Vấn đề kiểm tra mô hình cho CTL * đã hoàn tất EXPTIME. Việc tiên đề hóa CTL * là một vấn đề mở đầy thách thức cuối cùng đã được giải quyết bởi Reynold 2001. Sự tương tự của định lý van Benthem đối với logic phương thức và định lý của Kamp đối với LTL được đưa ra cho CTL * bởi một định lý của Hafer và Thomas cho thấy CTL * tương ứng với CTL * một đoạn logic thứ hai đơn âm trên cây nhị phân. Một đặc điểm sau này của Hirschfeld và Rabinovich là CTL * tương đương rõ ràng với đoạn bisimulation-bất biến của MSO với định lượng đường dẫn.

1. "Đôi khi" và "không bao giờ" được xem xét lại: về sự phân nhánh theo logic thời gian tuyến tính , Emerson và Halpern, 1986
2. Về sức mạnh biểu cảm của CTL , Moller, Rabinovich, 1999
3. Cây logic tính toán CTL * và bộ định lượng đường dẫn trong lý thuyết đơn âm của cây nhị phân , Hafer và Thomas, 1987
4. Một định nghĩa của logic cây tính toán đầy đủ , Reynold, 2001

Ngôn ngữ của từ vô hạn

$\omega$

$\omega$$\omega$$\omega$-từ ngữ. Hơn nữa, bằng cách sử dụng cấu trúc liên kết cơ bản, họ đã chỉ ra rằng mọi thuộc tính thời gian tuyến tính có thể được biểu thị như là giao điểm của một thuộc tính an toàn và sinh động. Kết quả này có những hậu quả thực tế quan trọng bởi vì nó có nghĩa là thay vì xây dựng các công cụ kiểm tra tài sản phức tạp, nó đủ để xây dựng một công cụ kiểm tra an toàn và sinh động. Một sự giảm thêm nữa cho thấy nó là đủ để xây dựng một trình kiểm tra bất biến và một trình kiểm tra chấm dứt. Đặc tính sinh động an toàn đã được Manolios và Trefler mở rộng thành cây và gần đây là các dấu vết, trong khuôn khổ siêu sản phẩm, bởi Clarkson và Schneider.

1. Từ vô hạn: Automata, Semigroups, Logic and Games , Perrin và Pin, 2004
2. $\omega$
3. $\omega$
4. Về sự phù hợp cú pháp cho các ngôn ngữ ω , Maler và Staiger, 1993

Automata về từ vô hạn

Nơi nào có ngôn ngữ, các nhà khoa học máy tính sẽ có automata. Nhập lý thuyết về automata trên các từ vô hạn và cây vô hạn. Thật đáng buồn khi mặc dù automata trên các từ vô hạn xuất hiện trong vòng hai năm của automata trên các từ hữu hạn, chủ đề cơ bản này hiếm khi được đề cập trong chương trình giảng dạy khoa học máy tính tiêu chuẩn. Automata trên các từ và cây vô hạn cung cấp một cách tiếp cận rất mạnh mẽ để chứng minh tính quyết định của sự thỏa mãn cho một gia đình logic rất phong phú.

$\omega$

1. Khả năng quyết định của các lý thuyết bậc hai và Automata trên cây vô hạn , Rabin, 1969
2. Automata trên các đối tượng vô hạn , Thomas, 1988
3. Automata: Từ logic đến thuật toán , Vardi, 2007

Trò chơi vô tận

Trò chơi logic và vô hạn là một lĩnh vực nghiên cứu tích cực. Các khái niệm lý thuyết trò chơi xuất hiện trong khoa học máy tính ở khắp mọi nơi trong tính đối ngẫu giữa tính không xác định và tính song song (xen kẽ), một chương trình và môi trường của nó, định lượng phổ biến và hiện sinh, phương thức hộp và kim cương, v.v. cách tuyệt vời để nghiên cứu các thuộc tính của các loại logic phi cổ điển được liệt kê ở trên.

Như với tiêu chí chấp nhận cho automata, chúng tôi có các điều kiện chiến thắng khác nhau cho các trò chơi và nhiều điều có thể được hiển thị là tương đương. Vì bạn đã hỏi về kết quả cổ điển, định lý Borel Xác định và các trò chơi Gale-Stewart thường nằm kín đáo trong nền tảng của một số mô hình trò chơi mà chúng tôi nghiên cứu. Một câu hỏi cấp bách của thời đại chúng ta là về sự phức tạp của việc giải các trò chơi chẵn lẻ. Jurdzinski đã đưa ra một thuật toán cải tiến chiến lược và chỉ ra rằng việc quyết định người chiến thắng nằm trong giao điểm của các lớp phức tạp UP và coUP. Độ phức tạp chính xác của thuật toán của Jurdzinski đã mở cho đến khi Friedmann cho nó giới hạn thời gian theo cấp số nhân trong năm 2009.

1. Quyết định người chiến thắng trong các trò chơi chẵn lẻ là trong UP ∩ co-UP , Jurdzinski, 1998
2. Các trò chơi cho tính toán , Niwinski và Walukiewicz, 1996
3. Một giới hạn thấp hơn theo cấp số nhân cho thuật toán cải tiến chiến lược trò chơi chẵn lẻ như chúng ta đã biết , Friedmann, 2009

Edmund M. Clarke, Orna Grumberg, Doron A. Peled: Kiểm tra mô hình . MIT Press 1999, là một cuốn sách hay (đối với tôi) về kiểm tra mô hình.

Glynn Winskel: Ngữ nghĩa chính thức của ngôn ngữ lập trình: giới thiệu . MIT Press 1994, là một trong những sách giáo khoa tiêu chuẩn về ngôn ngữ lập trình.

Mordechai Ben-Ari: Logic toán học cho khoa học máy tính . Springer 2001, có lẽ là những gì bạn đang tìm kiếm.

Lý thuyết cơ sở dữ liệu là một lĩnh vực rộng lớn cung cấp nhiều ứng dụng của logic. Độ phức tạp mô tả và lý thuyết mô hình hữu hạn là các lĩnh vực liên quan chặt chẽ. Theo như tôi có thể nói, tất cả các lĩnh vực này đều có xu hướng sử dụng các kiểu logic đại số (theo bước chân của Birkhoff và Tarski) hơn là lý thuyết bằng chứng. Tuy nhiên, một số công việc của Peter Buneman , Leonid Libkin , Wenfei Fan , Susan Davidson , Lim gió Wong , Atsushi Ohori và các nhà nghiên cứu khác đang làm việc tại UPenn trong những năm 1980-90, đã tìm cách hợp nhất lý thuyết và cơ sở dữ liệu ngôn ngữ lập trình. Điều này dường như đòi hỏi phải thoải mái với cả hai phong cách logic. Điều tương tự cũng xảy ra với tác phẩm gần đây của James Cheneyvà Philip Wadler .

Về các tài liệu tham khảo cụ thể, sách giáo khoa tiêu chuẩn có sẵn trực tuyến để tham khảo thuận tiện:

• Serge Abiteboul, Richard Hull, Victor Vianu. Nền tảng của cơ sở dữ liệu , 1995. http://webdam.inria.fr/Alice/

Thật không may, tôi không biết bất kỳ sách giáo khoa hay khảo sát chung nào cập nhật về lĩnh vực chuyển động nhanh này. Tôi đã tìm thấy hai cuộc điều tra cũ hữu ích. Đầu tiên,

• Jan Van den Bussche, Các ứng dụng của Ý tưởng của Alfred Tarski trong Lý thuyết cơ sở dữ liệu , CSL 2001. doi: 10.1007 / 3-540-44802-0_2

chỉ ra cách kết nối các dấu chấm giữa Tarski và một trường con cụ thể, cơ sở dữ liệu ràng buộc. Thứ hai,

• Victor Vianu, Cơ sở dữ liệu và Lý thuyết mô hình hữu hạn, Mô hình phức tạp và mô hình hữu hạn: Kỷ yếu của Hội thảo DIMACS, 1996. http://leo.saclay.inria.fr/publifiles/gemo/GemoReport-107.ps.gz

lý thuyết cơ sở dữ liệu cao độ (kiểu 1996) cho các nhà lý thuyết mô hình hữu hạn, và trong quá trình này nêu bật nhiều ứng dụng logic thú vị trong cơ sở dữ liệu. Đối với công việc gần đây hơn (chẳng hạn như lý thuyết về XML, xuất xứ, mô hình phát trực tuyến hoặc cơ sở dữ liệu đồ thị) đọc các tài liệu nghiên cứu được trích dẫn cao là một cách tiếp cận hợp lý.

Michael Huth và Mark Ryan: Logic trong khoa học máy tính , Nhà xuất bản Đại học Cambridge, 2004.

Tôi giới thiệu cuốn sách này rất cao vì giới thiệu chung về cách logic đóng vai trò trong khoa học máy tính.

Một cách sử dụng logic trong CS là logic chương trình, còn được gọi là logic Hoare.

$2 \in \sqrt(\pi^{17})$

Một tình huống tương tự có được trong nghiên cứu về logic phương thức (đơn giản là một lần nữa) không biểu cảm như logic thứ nhất, nhưng những gì chúng có thể diễn đạt, chúng diễn đạt với các công thức và bằng chứng ngắn hơn.

Xác định các đoạn ZFC phù hợp không khó đối với các ngôn ngữ lập trình đơn giản, nhưng sẽ gặp nhiều thách thức hơn khi các ngôn ngữ lập trình có được nhiều tính năng hơn. Vài năm qua đã chứng kiến ​​sự tiến bộ đáng kể trong nỗ lực này.

Bài viết Một cơ sở tiên quyết cho lập trình máy tính của T. Hoare thường được xem là sáng lập nghiên cứu về logic chương trình một cách nghiêm túc, dễ đọc và có lẽ là một cách tốt để bắt đầu mạo hiểm vào lĩnh vực này. Logic tương tự được nghiên cứu chi tiết hơn trong cuốn sách "Ngữ nghĩa chính thức của ngôn ngữ lập trình" của Winskel do @vb le đề cập.

Lý thuyết loại có thể được nhìn thấy trong một ánh sáng tương tự. Điểm bán hàng quan trọng của lý thuyết loại là việc xác định các bằng chứng với các chương trình (hoàn toàn có chức năng), dẫn đến một nền kinh tế lớn về các khái niệm và tự động hóa mạnh mẽ (dưới dạng suy luận kiểu và các định lý tương tác). Cái giá cho lý thuyết loại là một cách tổ chức bằng chứng thanh lịch là nó dường như không hoạt động tốt với các ngôn ngữ lập trình không hoàn toàn là chức năng.

Một văn bản gần đây và hiện đại xuyên suốt giới thiệu logic chương trình theo kiểu nhuốm màu lý thuyết là Cơ sở phần mềm của Pierce et al. Nó sẽ dẫn bạn đến gần (a) nghiên cứu tiên tiến trong xác minh chương trình và, như một cuốn sách giáo khoa, có thể cho một cái nhìn thoáng qua về cách khoa học máy tính và toán học sẽ được dạy trong tương lai.

Khi logic chương trình đã được phát triển cho ngôn ngữ, bước tiếp theo là tự động hóa hoặc tự động hóa một phần: xây dựng bằng chứng cho các chương trình không tầm thường tốn nhiều công sức và chúng tôi muốn máy móc thực hiện càng nhiều càng tốt. Nhiều nghiên cứu hiện tại trong các phương pháp chính thức để làm với tự động hóa như vậy.

Có một truyền thống logic rất mạnh mẽ trong khoa học máy tính. Các vấn đề chúng tôi nghiên cứu và tính thẩm mỹ của cộng đồng logic tính toán không giống với cộng đồng logic toán học. Bạn hoàn toàn đúng khi phát triển đáng kể trong lý thuyết mô hình, lý thuyết siêu logic của logic thứ nhất và lý thuyết tập hợp không được sử dụng phổ biến trong logic tính toán. Người ta có thể nghiên cứu thành công logi tính toán mà không cần nhìn thấy hoặc sử dụng siêu lọc, phân tích phi tiêu chuẩn, cưỡng bức, định lý Paris-Harrington và một loạt các khái niệm hấp dẫn khác được coi là quan trọng trong logic cổ điển.

Giống như người ta áp dụng các ý tưởng toán học để nghiên cứu logic cũng như ý tưởng logic để nghiên cứu toán học, chúng tôi áp dụng logic để nghiên cứu khoa học máy tính và cũng như áp dụng các quan điểm tính toán để nghiên cứu logic. Sự tập trung khác nhau này có những hậu quả khá ấn tượng đối với các loại kết quả quan trọng đối với chúng tôi.

Dưới đây là một trích dẫn của John Baez về logic và khoa học máy tính. Tôi không giữ chính xác cùng một quan điểm vì tôi không rành lắm về logic toán học tiên tiến.

Khi tôi còn là sinh viên, tôi khá hứng thú với logic và nền tảng của toán học --- Tôi luôn tìm kiếm những khái niệm gây kinh ngạc nhất mà tôi có thể hiểu được, và định lý của Goedel, định lý Loewenheim-Skolem, v.v. ngay trên đó với cơ học lượng tử và thuyết tương đối rộng như tôi đã quan tâm. [...] Tôi nhớ cảm giác lúc đó logic đã trở nên ít cách mạng hơn so với hồi đầu thế kỷ. Dường như với tôi, logic đã trở thành một nhánh của toán học như mọi thứ khác, nghiên cứu các tính chất tối nghĩa của các mô hình của các tiên đề Zermelo-Fraenkel, thay vì đặt câu hỏi về các giả định cơ bản tiềm ẩn trong các tiên đề đó và dám theo đuổi các phương pháp mới, khác nhau. [...]

Dù sao, bây giờ tôi đã khá rõ ràng rằng tôi đã không đọc đúng thứ. Tôi nghĩ rằng Rota đã nói rằng công việc thực sự thú vị trong logic bây giờ có tên là "khoa học máy tính", [...] - 40 tuổi, Tìm kiếm trong tuần này, John Baez

Logic trong khoa học máy tính là một lĩnh vực rộng lớn và phát triển nhanh chóng. Tôi thấy rằng mọi quan điểm của logic cổ điển có thể được sửa đổi để rút ra một số quan điểm về logic tính toán. Mục nhập Wikipedia về logic toán học chia trường thành lý thuyết tập hợp, lý thuyết mô hình, lý thuyết bằng chứng và lý thuyết đệ quy. Về cơ bản, bạn có thể lấy các khu vực này và thêm một hương vị tính toán cho chúng và có được một trường con của logic tính toán.

Lý thuyết mô hình Chúng tôi muốn nghiên cứu lý thuyết mô hình của logic phi cổ điển và mô hình phi cổ điển của logic cổ điển. Điều đó có nghĩa là chúng ta nghiên cứu logic logic phương thức, thời gian và cấu trúc phụ, và chúng ta nghiên cứu logic trên cây, từ và mô hình hữu hạn, trái ngược với mô hình cổ điển như đại số. Hai vấn đề cơ bản là sự thỏa mãn và kiểm tra mô hình. Cả hai đều có ý nghĩa thực tiễn và lý thuyết to lớn. Ngược lại, những vấn đề này ít tập trung hơn trong logic cổ điển.

Lý thuyết bằng chứng Chúng tôi nghiên cứu tính phức tạp và hiệu quả mà chúng tôi có thể tạo ra bằng chứng trong các hệ thống chứng minh cổ điển, cũng như phát triển các hệ thống chứng minh phi cổ điển mới, nhạy cảm với các cân nhắc về độ phức tạp và hiệu quả. Nghiên cứu khấu trừ tự động tạo ra bằng chứng hỗ trợ máy, nói rộng. Quá trình có thể liên quan đến sự tương tác của con người hoặc hoàn toàn tự động. Có rất nhiều công việc về phát triển các thủ tục quyết định cho các lý thuyết logic. Độ phức tạp bằng chứng tập trung vào kích thước của bằng chứng và độ phức tạp tính toán của việc tạo ra bằng chứng. Có một dòng công việc hấp dẫn liên quan đến các chương trình chứng minh, kết hợp với công việc giảm dần từ logic tuyến tính để phát triển các hệ thống chứng minh, và do đó, các ngôn ngữ lập trình, rất nhạy cảm với tài nguyên.

Lý thuyết đệ quy Lý thuyết đệ quy của chúng tôi là lý thuyết phức tạp. Thay vì nghiên cứu những gì có thể tính toán, chúng tôi nghiên cứu cách chúng tôi có thể tính toán hiệu quả. Có nhiều điểm tương đồng của lý thuyết đệ quy trong lý thuyết phức tạp, nhưng kết quả và sự tách biệt của lý thuyết đệ quy không phải lúc nào cũng giữ cho các tương tự lý thuyết phức tạp của chúng. Thay vì các bộ tính toán và hệ thống phân cấp số học, chúng ta có thời gian đa thức, thứ bậc thời gian đa thức và không gian đa thức bao quanh hệ thống phân cấp. Thay vì định lượng giới hạn trong hệ thống phân cấp số học, chúng tôi có các công thức Boolean thỏa đáng và định lượng và định lượng giới hạn của các công thức Boolean.

Bài báo khảo sát

Về hiệu quả bất thường của logic trong khoa học máy tính

là một điểm khởi đầu tốt để có được cái nhìn rất cao về logic tính toán. Tôi sẽ liệt kê một số lĩnh vực, định hướng logic của khoa học máy tính. Tôi hy vọng rằng những người khác sẽ chỉnh sửa câu trả lời này và thêm vào danh sách đó ở đây, và có thể thêm một liên kết đến một câu trả lời trên trang này.

1. Lý thuyết mô hình hữu hạn
2. Độ phức tạp chứng minh
3. Khấu trừ thuật toán (thủ tục quyết định cho các lý thuyết logic)
4. Logic của chương trình
5. Logic động
6. Logic tuyến tính tạm thời và các biến thể của nó
7. Cây logic tính toán và các biến thể của nó
8. Epistemia logic
9. Lý thuyết cơ sở dữ liệu
10. Lý thuyết loại
11. Automata trên các từ vô hạn
12. Logic phân loại
13. Lý thuyết đồng thời và đại số quá trình
14. Lý thuyết tên miền
15. Logic tuyến tính
16. Độ phức tạp mô tả
17. Kiểm tra mô hình
18. Tính toán điểm cố định và logic đóng cửa bắc cầu

một lĩnh vực chồng chéo mạnh mẽ giữa logic và khoa học máy tính là định lý tự động chứng minh , ví dụ [4]. cũng ví dụ: ref [1] là việc sử dụng câu tục ngữ định lý Boyer-Moore để kiểm tra / xác minh định lý Godels. một kết quả quan trọng / ấn tượng gần đây là việc hoàn thành xác minh phần mềm gần đây của định lý bốn màu (và các định lý khác như Odd Order và Feit-Thompson [3]) tại nghiên cứu của Microsoft bởi Gonthier. [2]

[1] Siêu dữ liệu, Máy móc và Bằng chứng của Gôdel (Vùng Cambridge trong Khoa học máy tính lý thuyết của Shankar

[2] Một bằng chứng được kiểm tra bằng máy tính về Định lý Bốn màu Georges Gonthier

[3] Các thuật toán thú vị trong việc chính thức hóa định lý Feit-Thompson? tcs.se

[4] Máy tính giúp chứng minh một định lý ở đâu và như thế nào? tcs.se