Biến đổi Walsh-Hadamard thưa thớt

Các Walsh-Hadamard transform (WHT) là một sự tổng quát của biến đổi Fourier, và là một sự biến đổi trực giao trên một vector của các số thực hoặc phức tạp của chiều . Phép biến đổi này rất phổ biến trong điện toán lượng tử, nhưng gần đây nó đã được nghiên cứu như một loại tiền đề cho các phép chiếu ngẫu nhiên của các vectơ chiều cao để sử dụng trong chứng minh Bổ đề Johnson-Lindenstrauss. Đặc điểm chính của nó là mặc dù là ma trận vuông , nhưng nó có thể được áp dụng cho một vectơ trong thời gian (chứ không phải ) bằng phương pháp giống FFT. d × d O ( d log d ) d $d = 2^m$$d\times d$$O(d \log d)$$d^2$

Giả sử vectơ đầu vào thưa thớt : nó chỉ có một vài mục nhập khác (giả sử ). Có cách nào để tính WHT theo thời gian sao cho và cho ?f ( r , d ) f ( d , d ) = O ( d log d ) f ( r , d ) = o ( d log d ) r = o ( d $r \ll d$$f(r,d)$$f(d,d) = O(d \log d)$$f(r,d) = o(d \log d)$$r = o(d)$

Lưu ý: những yêu cầu này chỉ là một cách để chính thức hóa ý tưởng rằng tôi muốn thứ gì đó chạy nhanh hơn cho nhỏ .$d \log d$$r$

Lập chỉ mục các hàng WHT theo số nguyên x, cho . Vì vậy x có bit d log. Tương tự, lập chỉ mục các cột. (X, y) là vị trí ( - 1 ) ⟨ x , y ⟩ nơi số mũ là sản phẩm chấm có độ dài log d. Giả sử r là lũy thừa 2, làm tròn số nếu cần. Chia ma trận dxr thành các khối rxr bằng cách để các bit log r đầu tiên thay đổi và sửa các bit log (d / r) khác trong mỗi cách d / r. Khối rxr này là một ma trận WHT nhỏ hơn có kích thước r, ngoại trừ có thể có một số cột bị thiếu, lặp lại hoặc bị phủ định. Trong mọi trường hợp, tiền xử lý vectơ dễ dàng sau đó thực hiện Wx rxr trong thời gian r log r, sau đó lặp lại d / r lần cho tổng thời gian d log r.$0 \le x \lt d$$(-1)^{\langle x,y \rangle}$

Thí dụ:

d = 4.

WHT H là

++++
+-+-
++--
+--+

Tập hợp các cột tùy ý là 00 và 10 (ngoài cùng bên trái và hai cột từ đó):

++
++
+-
+-

Khối hàng là

++
++

và

--
--

Trong mỗi khối, có các cột lặp lại, các cột bị thiếu và, trong khối thứ hai, các cột bị phủ định. Tiền xử lý một vectơ thành ( a + b , 0 ) T và nhân với 2x2 WHT:$(a,b)^T$$(a+b,0)^T$

++
+-

Sau đó tiền xử lý thành ( - a - b , 0 ) T và nhân với 2x2 WHT:$(a,b)^T$$(-a-b,0)^T$

++
+-