Khi nào thoải mái đếm khó?

Giả sử chúng ta thư giãn vấn đề đếm màu phù hợp bằng cách đếm các màu có trọng số như sau: mỗi màu thích hợp sẽ có trọng số 1 và mọi màu không đúng sẽ có trọng số trong đó c là một số không đổi và v là số cạnh có điểm cuối giống nhau. Khi c về 0, điều này làm giảm việc đếm các màu phù hợp, khó cho nhiều biểu đồ. Khi c là 1, mọi màu đều có cùng trọng lượng và vấn đề là không đáng kể. Khi kề ma trận của đồ thị nhân - log ( c ) / 2 có bán kính quang phổ dưới 1 - $c^v$$c$$v$$c$$-\log(c)/2$$1-\epsilon$, tổng này có thể được xấp xỉ bằng cách truyền niềm tin với bảo đảm hội tụ, vì vậy nó dễ dàng trong thực tế. Về mặt lý thuyết cũng dễ dàng vì một cây tính toán cụ thể biểu hiện sự phân rã các mối tương quan và do đó cho phép thuật toán thời gian đa thức cho phép tính gần đúng được đảm bảo - Tetali, (2007)

Câu hỏi của tôi là - những tính chất nào khác của biểu đồ làm cho vấn đề này trở nên khó khăn đối với các thuật toán cục bộ? Khó hiểu theo nghĩa chỉ có thể giải quyết được một phạm vi nhỏ của .$c$

Chỉnh sửa 23/11 : Cho đến nay tôi đã bắt gặp hai thuật toán xấp xỉ đa thức xác định cho loại vấn đề này (dẫn xuất của bài báo STOC2006 của Weitz và phương pháp "mở rộng khoang" của Gamarnik để tính gần đúng) và cả hai cách tiếp cận đều phụ thuộc vào hệ số tự phân nhánh. tránh đi lại trên đồ thị. Bán kính quang phổ xuất hiện bởi vì nó là giới hạn trên của yếu tố phân nhánh này. Câu hỏi là sau đó - nó có phải là một ước tính tốt? Chúng ta có thể có một chuỗi các biểu đồ trong đó hệ số phân nhánh của các bước đi tự tránh bị giới hạn, trong khi hệ số phân nhánh của các bước đi thông thường phát triển mà không bị ràng buộc?

Chỉnh sửa 10/06 : Bài báo này của Allan Sly (FOCS 2010) có vẻ phù hợp ... kết quả cho thấy rằng hệ số phân nhánh của cây tự tránh vô hạn nắm bắt chính xác điểm mà việc đếm trở nên khó khăn.

Chỉnh sửa 10/31 : Các phỏng đoán của Alan Sokal ( tr.42 của "Đa thức Tutte đa biến" ) rằng có một giới hạn trên của bán kính của vùng không có màu của đa thức màu là tuyến tính theo dòng maxmaxflow tất cả các cặp s, t). Điều này có vẻ phù hợp vì các mối tương quan tầm xa xuất hiện khi số lượng màu phù hợp tiếp cận 0.

Điều này là khó đối với đồ thị phẳng, ít nhất là từ sáu màu trở lên. Xem "Tính không gần đúng của đa thức Tutte của đồ thị phẳng" của Goldberg và Jerrum

Một số ý kiến ​​khác:

Một thuật toán cục bộ để đếm sẽ tính toán số lượng từ một tập hợp thống kê trên mỗi nút trong đó mỗi thống kê là một hàm của một số vùng lân cận đồ thị của nút. Đối với màu sắc, những thống kê đó có liên quan đến "xác suất cận biên của màu gặp c". Đây là một ví dụ về việc giảm này cho một biểu đồ đơn giản.

Bài báo gần đây của Alan Sly cho rằng việc đếm các tập độc lập bằng thuật toán cục bộ cũng khó như đếm các tập độc lập bằng bất kỳ thuật toán nào. Tôi nghi ngờ rằng điều này đúng với việc đếm chung trên biểu đồ.

Đối với các thuật toán cục bộ, độ cứng phụ thuộc vào mức độ tương quan giữa các nút ứng xử với khoảng cách giữa các nút. Đối với khoảng cách đủ lớn, mối tương quan này về cơ bản chỉ có hai hành vi - hoặc tương quan phân rã theo cấp số nhân theo khoảng cách đồ thị, hoặc nó hoàn toàn không phân rã.

Nếu có sự phân rã theo cấp số nhân, số liệu thống kê cục bộ phụ thuộc vào vùng lân cận có kích thước là đa thức về kích thước của biểu đồ, do đó, vấn đề đếm rất dễ dàng.

Trong các mô hình vật lý thống kê, người ta đã lưu ý (ví dụ, de Gennes, Emery) rằng có một mối liên hệ giữa các bước đi tự tránh, phân rã tương quan và chuyển pha. Điểm tại đó chức năng tạo để tự tránh đi trên một mạng trở nên vô hạn tương ứng với nhiệt độ mà tại đó các mối tương quan tầm xa xuất hiện trong mô hình.

Bạn có thể thấy từ việc xây dựng cây đi bộ tự tránh của Weitz tại sao các lối đi tự tránh lại xuất hiện trong sự phân rã tương quan - cận biên có thể được biểu diễn chính xác như một gốc của cây đi bộ tự tránh, vì vậy nếu yếu tố phân nhánh của cây này là đủ nhỏ, cuối cùng lá cây trở nên không liên quan.

Nếu "độ cứng cục bộ" ngụ ý độ cứng, thì nó đủ để định lượng các thuộc tính xác định tốc độ tăng trưởng của các bước đi tự tránh. Tốc độ tăng trưởng chính xác có thể được trích xuất từ ​​chức năng tạo để tự đi bộ, nhưng nó không thể tính toán được. Bán kính quang phổ dễ tính toán và cho giới hạn dưới.

Một số ý kiến: không phải là một câu trả lời.

Nếu đủ nhỏ so với số đỉnh trong biểu đồ, thì các màu không phù hợp sẽ cộng lại nhỏ hơn 1. Do đó, có một mức giảm nhỏ từ trường hợp weight-0 cho trường hợp này: chỉ cần chọn $c$$c$$c \in [0,\epsilon)$$\epsilon > 0$$c$$c$

$c$

Bạn đang yêu cầu các thuộc tính cấu trúc của lớp biểu đồ cho phép vấn đề vẫn còn khó khăn. Theo như tôi có thể nói, nó sẽ khó gần như luôn luôn. Nhưng điều này rất sơ sài và cần nhiều công việc hơn.