Làm thế nào tôi nên nghĩ về lưới bằng chứng?

Trong câu trả lời của mình cho câu hỏi này , Stephane Gimenez đã chỉ cho tôi một thuật toán chuẩn hóa thời gian đa thức để chứng minh cho logic tuyến tính. Bằng chứng trong bài báo của Girard sử dụng lưới bằng chứng, đó là một khía cạnh của logic tuyến tính mà tôi thực sự không biết nhiều.

Bây giờ, tôi đã cố đọc các bài báo trên lưới bằng chứng trước đây (chẳng hạn như ghi chú của Pierre-Louis Curien về chúng), nhưng tôi không thực sự hiểu chúng. Vì vậy, câu hỏi của tôi là: tôi nên nghĩ về họ như thế nào? Theo "cách nghĩ về chúng", ý tôi là cả trực giác không chính thức đằng sau chúng (ví dụ, cách chúng hành xử tính toán, hoặc chúng liên quan đến trình tự như thế nào), và tôi cũng nên chứng minh những định lý nào về chúng để thực sự hiểu chúng.

Khi trả lời câu hỏi này, bạn có thể giả sử (1) Tôi biết rõ lý thuyết bằng chứng về logic tuyến tính (bao gồm cả những thứ như cách chứng minh cắt bỏ đi và ở dạng tiêu cự), (2) ngữ nghĩa phân loại của chúng về mặt không gian kết hợp hoặc thông qua tích chập ngày và (3) những sơ bộ rất cơ bản của việc xây dựng GoI.

Lưới bằng chứng rất thú vị vì ba lý do:

1) NHẬN DIỆN. Họ cung cấp một câu trả lời cho vấn đề "khi nào hai bằng chứng giống nhau"? Trong phép tính tuần tự, bạn có thể có nhiều bằng chứng khác nhau về cùng một mệnh đề chỉ khác nhau bởi vì phép tính tuần tự buộc một trật tự giữa các quy tắc khấu trừ ngay cả khi điều này là không cần thiết. Tất nhiên, người ta có thể thêm một mối quan hệ tương đương vào các bằng chứng tính toán liên tiếp, nhưng sau đó người ta phải chứng minh rằng việc loại bỏ hành vi đúng trên các lớp tương đương, và cũng cần phải chuyển sang viết lại modulo, điều này khá kỹ thuật hơn là viết lại đơn giản. Các lưới bằng chứng giải quyết vấn đề xử lý các lớp tương đương bằng cách cung cấp một cú pháp trong đó mọi lớp tương đương được thu gọn trên một đối tượng. Tình huống này dù sao cũng là một chút duy tâm, vì nhiều lý do, lưới bằng chứng thường được mở rộng với một số dạng tương đương.

2) KHÔNG CÓ BƯỚC CẮT HÓA GIAO TIẾP. Cắt bỏ trên lưới bằng chứng có một hương vị khá khác so với tính toán tuần tự vì các bước cắt bỏ giao hoán biến mất. Lý do là trong các lưới chứng minh, các quy tắc khấu trừ chỉ được kết nối bởi mối quan hệ nhân quả của chúng. Các trường hợp giao hoán được tạo ra bởi thực tế là một quy tắc có thể được ẩn bởi một quy tắc nhân quả khác không liên quan. Điều này không thể xảy ra trong các lưới bằng chứng, trong đó các quy tắc không liên quan đến nhân quả cách xa nhau. Vì hầu hết các trường hợp loại bỏ cắt là giao hoán, người ta nhận được sự đơn giản hóa đáng chú ý của loại bỏ cắt. Điều này đặc biệt hữu ích cho việc nghiên cứu tính toán lambda với sự thay thế rõ ràng (vì hàm mũ = sự thay thế rõ ràng). Một lần nữa, tình huống này được lý tưởng hóa vì một số bài thuyết trình về lưới chứng minh đòi hỏi các bước giao hoán. Tuy nhiên,

3) TIÊU CHUẨN ĐÚNG. Lưới bằng chứng có thể được xác định bằng cách dịch các bằng chứng tính toán tuần tự, nhưng thông thường, một hệ thống lưới chứng minh không được chấp nhận trừ khi nó được cung cấp một tiêu chí chính xác, tức là một tập hợp các nguyên tắc lý thuyết biểu đồ đặc trưng cho bộ biểu đồ thu được bằng cách dịch bằng chứng tính toán tuần tự. Lý do yêu cầu một tiêu chí chính xác là ngôn ngữ đồ họa miễn phí được tạo bởi tập hợp các hàm tạo bằng chứng (được gọi là liên kết) chứa "quá nhiều biểu đồ", theo nghĩa là một số biểu đồ không tương ứng với bất kỳ bằng chứng nào. Sự liên quan của phương pháp tiêu chí chính xác thường bị hiểu sai hoàn toàn. Điều này rất quan trọng vì nó đưa ra các định nghĩa không quy nạp về những gì là một bằng chứng, cung cấp các quan điểm khác nhau gây sốc về bản chất của các khoản khấu trừ. Thực tế là đặc tính không quy nạp thường bị chỉ trích, trong khi đó chính xác là những gì thú vị. Tất nhiên, không dễ để có thể chính thức hóa, nhưng, một lần nữa, đây là điểm mạnh của nó: lưới bằng chứng cung cấp những hiểu biết không có sẵn thông qua quan điểm quy nạp thông thường về bằng chứng và điều khoản. Một định lý cơ bản cho các lưới chứng minh là định lý tuần tự, trong đó nói rằng bất kỳ đồ thị nào thỏa mãn tiêu chí chính xác đều có thể được phân tách theo cách tự nhiên như một bằng chứng tính toán tuần tự (dịch ngược lại biểu đồ chính xác).

Hãy để tôi kết luận rằng không chính xác để nói rằng lưới bằng chứng là một phiên bản cổ điển và tuyến tính của suy luận tự nhiên. Vấn đề là họ giải quyết (hoặc cố gắng giải quyết) vấn đề về bản sắc của bằng chứng và sự suy diễn tự nhiên thành công giải quyết vấn đề tương tự cho logic trực giác tối thiểu. Nhưng lưới bằng chứng cũng có thể được thực hiện cho các hệ thống trực giác và cho các hệ thống phi tuyến tính. Trên thực tế, chúng hoạt động tốt hơn cho các hệ thống trực giác hơn là các hệ thống cổ điển.

Chúng ta hãy gọi một logic "đối xứng" trong đó giả định a ("không phải A") có nghĩa giống như chứng minh $-A$$A$$-A$$A$

Girard nhận thấy rằng suy luận tự nhiên là không đối xứng theo cách này. Đó là lý do tại sao nó phù hợp với logic trực giác. Lưới bằng chứng thể hiện nỗ lực của Girard để phát minh ra một hình thức đối xứng tự nhiên.

$\land\to$

Một điều có lẽ không cần phải bối rối về cách đối xử của Girard là anh ta phân phối các chuỗi hai mặt và sử dụng các chuỗi một phía vì lợi ích của nền kinh tế. Đối với tính toán tuần tự, công việc này tốt hơn hoặc ít hơn. Nhưng, khi cùng một nền kinh tế được áp dụng cho khấu trừ tự nhiên, mọi thứ trông thật kỳ lạ. Do đó, một mạng lưới bằng chứng là một "bằng chứng khấu trừ tự nhiên" về sự phân biệt các công thức, mà không có bất kỳ giả định nào . Khấu trừ loại được biến thành một mạng lưới chứng minh loại ⊢ $\Gamma \vdash A$$\vdash \Gamma^\perp, A$

Một cái gì đó tôi đã bỏ lỡ trong câu trả lời ban đầu của mình: Lưới bằng chứng là một cách viết bằng chứng, và chúng tôi biết rằng bằng chứng là chương trình. Vì vậy, lưới bằng chứng cũng là một cách viết chương trình.

Ký hiệu chức năng truyền thống cho các chương trình viết là không đối xứng, giống như khấu trừ tự nhiên. Vì vậy, lưới bằng chứng chỉ ra một cách viết chương trình ở dạng đối xứng . Đó là cách quá trình tính toán nhập vào hình ảnh.

Một cách khác để biểu diễn tính đối xứng là thông qua lập trình logic, mà tôi đã tìm hiểu trong hai bài báo: Một nền tảng đánh máy cho các chương trình logic định hướng và các khía cạnh bậc cao của lập trình logic

Tôi tập trung vào cách các lưới chứng minh có liên quan đến phép tính tuần tự, để lại những thứ năng động hơn.

Bằng chứng lưới bằng chứng tính toán tuần tự trừu tượng: một lưới bằng chứng đại diện cho một tập hợp các bằng chứng tính toán tuần tự. Lưới bằng chứng quên đi sự khác biệt không quan trọng giữa các bằng chứng tính toán liên tiếp (giống như công thức nào được phân tách dưới đây). Định lý quan trọng ở đây là "tuần tự hóa", trong đó chuyển đổi một mạng bằng chứng thành một bằng chứng tính toán tuần tự.

Điều này chủ yếu liên quan đến phần "cách họ hành xử tính toán" trong câu hỏi của bạn. Một cách để hiểu rõ về lưới chứng minh từ góc độ tính toán là bằng cách xem xét các diễn giải cụ thể hơn một chút (ví dụ, quá trình đại số).

Bạn có thể quan tâm đến những điều sau đây:

• Bài viết của Abramsky (phần CLL về biểu thức bằng chứng): Giải thích tính toán của logic tuyến tính . Bài viết này cũng trình bày một số kết quả gần với kết quả tương ứng cho lưới bằng chứng, vì vậy có thể giúp ích trong khía cạnh thứ hai của câu hỏi của bạn.

• Bài viết của Honda và Laurent cho thấy một loại Proof Nets cụ thể, được gọi là Polarized Proof Nets, tương ứng với các quy trình tính toán Pi, và được Martin Berger đề cập ở trên: Một sự tương ứng chính xác giữa một phép tính pi được đánh máy và bằng chứng phân cực lưới

• (ở đây tôi không biết xấu hổ quảng cáo công việc của mình) Bản nháp: Proof Nets ở dạng đại số quá trình

Ngoài ra còn có một số công việc liên quan đến lưới bằng chứng và phép tính lambda, cũng cung cấp trực giác đáng kể. Ví dụ: phần sau của Delia Kesner và Stéphane Lengrand:

• Toán tử tài nguyên cho tính toán

Bạn cũng có thể quan tâm đến loại công việc này (rất hướng đến các khía cạnh lý thuyết) dựa trên Proof Structures để chứng minh chi tiết tài sản Bình thường hóa mạnh mẽ của LL, bởi Michele Pagani và Lorenzo Tortora de Falco.

• Thuộc tính chuẩn hóa mạnh cho logic tuyến tính bậc hai (bài viết này chứa một bản đồ đẹp về các định lý quan trọng).

Nói chung, những định lý nào nên nghiên cứu? Chà, tôi hầu như không phải là người có thẩm quyền nhưng bạn có thể muốn xem xét "Tuần tự hóa" (Bằng chứng liên quan và Bằng chứng liên tiếp; xem tài liệu TCS gốc về LL), và bằng chứng bình thường hóa mạnh mẽ (như có liên quan, như dự kiến, nhưng nhiều điều quan trọng Các định lý PN có liên quan đến nó [hoặc, được sử dụng để chứng minh điều đó]).

Nếu bạn quen với việc tập trung, bạn cũng có thể quan tâm đến bài viết này của Andreoli:

• Tập trung và Proof-Nets trong Logic tuyến tính và không giao hoán

Hi vọng điêu nay co ich. Một lần nữa, những tài liệu tham khảo này thực sự không đầy đủ.

tốt nhất, Dimitris

Gần đây đã có một công việc thú vị về việc làm cho mối quan hệ giữa mạng bằng chứng và tính toán tập trung chặt chẽ hơn, sử dụng các biến thể "đa tập trung" trong đó bạn có thể có một số lỗ hổng đồng thời và nghiên cứu các bằng chứng "tập trung tối đa". Nếu bạn chọn tính toán đúng, các bằng chứng tập trung tối đa có thể tương ứng với các lưới chứng minh MLL hoặc, theo logic cổ điển, với các bằng chứng mở rộng (Chứng minh đẳng hướng giữa các bằng chứng mở rộng và Chứng minh tuần tự đa tập trung , Kaustuv Chaudhuri, Stefan Hetzl và Dale Miller, 2013)

Bạn có thể kiểm tra bài viết của tôi " Một cuộc khảo sát về lưới chứng minh và ma trận cho logic logic dưới cấu trúc ".

Trừu tượng:

Bài viết này là một cuộc khảo sát về hai loại lược đồ chứng minh "nén", \ then {phương thức ma trận} và \ then {lưới chứng minh}, như được áp dụng cho nhiều loại logic khác nhau dọc theo hệ thống phân cấp cấu trúc từ cổ điển cho đến hệ thống Lambek không liên kết. Một điều trị mới của lưới bằng chứng cho sau này được cung cấp. Mô tả về lưới chứng minh và ma trận được đưa ra trong một ký hiệu thống nhất dựa trên các chuỗi, do đó có thể dễ dàng so sánh các thuộc tính của các sơ đồ cho các logic khác nhau.