Không có triệu chứng, có bao nhiêu hoán vị của

Xét một hoán vị $\sigma$ của $[1..n]$ . Một đảo ngược được định nghĩa là một cặp $(i, j)$ của chỉ số như vậy mà $i < j$ và $\sigma(i) > \sigma(j)$ .

Xác định $A_k$ là số hoán vị của $[1..n]$ với tối đa $k$ nghịch đảo.

Câu hỏi: Những gì tiệm cận chặt chẽ ràng buộc cho $A_k$ ?

Một câu hỏi liên quan đã được hỏi trước đây: Số lượng hoán vị có cùng khoảng cách Kendall-Tau

Nhưng câu hỏi trên liên quan đến điện toán $A_k$ . Nó có thể được tính toán bằng lập trình động, vì nó thỏa mãn mối quan hệ lặp lại được hiển thị ở đây: /programming/948341/dynamic-programming-number-of-ways-to-get-at-least-n-bubble -sort-hoán đổi

Số lượng hoán vị với chính xác $k$ đảo ngược cũng đã được nghiên cứu và nó có thể được biểu thị dưới dạng hàm tạo: http://en.wikipedia.org/wiki/Permuting#Inversions

Nhưng tôi không thể tìm thấy một công thức dạng đóng hoặc ràng buộc tiệm cận.

co.combinatorics permutations

— Vinayak Pathak
nguồn

Nếu bạn có một đa thức tạo cho một chuỗi, bạn có thể rút ra đa thức tạo cho tổng tiền tố chỉ bằng cách nhân đa thức với

. Trong trường hợp của bạn, bạn sẽ sử dụng đa thức mà bạn đã liên kết để tính toán các nghịch đảo chính xác-k.

1 / (1 - x)

$1/(1-x)$

— Suresh Venkat

Đây là oeis.org/A161169

— András Salamon

@SureshVenkat Cảm ơn vì tiền boa. Nhưng tôi vẫn sẽ bị mắc kẹt với việc tìm hệ số của

trong đa thức thực sự phức tạp này về mặt

và

và tôi không thấy cách làm điều đó.

x^{k}

$x^k$

n

$n$

k

$k$

— Vinayak Pathak

để lấy hệ số của

, hãy lấy đạo hàm thứ

của đa thức tạo và đánh giá nó tại

x^{k}

$x^k$

k

$k$

x = 0

$x = 0$

— Sasho Nikolov

Theo Wikipedia, số hoán vị trong với chính xác đảo là hệ số trong Suy ra điều này bởi . Điều này cho thấy $S_n$ $k$ $X^k$

1 (1 + X) (1 + X + X^{2}) \dots (1 + X + \dots + X^{n - 1}) .

$1(1+X)(1+X+X^2)\cdots(1+X+\cdots+X^{n-1}).$

c (n, k)

$c(n,k)$

Vì vậy, số lượng hoán vị trong

với nhiều nhất

nghịch đảo bằng số hoán vị trong

với chính xác

nghịch đảo. Điều này cũng có một bằng chứng tổ hợp gọn gàng (gợi ý: lấy

và loại bỏ

c (n + 1, k) = \sum_{l = 0}^{k} c (n, k - l) .

$c(n+1,k) = \sum_{l=0}^k c(n,k-l).$

S_{n}

$S_n$

k

$k$

S_{n + 1}

$S_{n+1}$

k

$k$

π \in S_{n + 1}

$\pi\in S_{n+1}$

n + 1

$n+1$

Nếu chúng ta chỉ quan tâm đến hệ số của , thì các yếu tố cho không tạo ra sự khác biệt nào. Vậy với , là hệ số của trong $X^k$ $X^m$ $m > k$ $n > k$ $c(n,k)$ $X^k$ Điều này ngụ ý công thức

\begin{aligned} 1 (1 + X) \dots (1 + X + \dots + X^{k - 1}) (1 + X + \dots + X^{k} + \dots)^{n - k} \\ = & 1 (1 + X) \dots (1 + X + \dots + X^{k - 1}) \frac{1}{(1 - X)^{n - k}} \\ = & 1 (1 + X) \dots (1 + X + \dots + X^{k - 1}) \sum_{t = 0}^{\infty} (\binom{t + n - k - 1}{t}) X^{t} . \end{aligned}

$\begin{align*} &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) (1+X+\cdots+X^k+\cdots)^{n-k} \\ = &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) \frac{1}{(1-X)^{n-k}} \\ = &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) \sum_{t=0}^\infty \binom{t+n-k-1}{t} X^t. \end{align*}$

c (n, k) = \sum_{t = 0}^{k} (\binom{n + t - k - 1}{t}) c (k, k - t), n > k .

$c(n,k) = \sum_{t=0}^k \binom{n+t-k-1}{t} c(k,k-t), \quad n > k.$

Khi không đổi, thuật ngữ quan trọng nhất không có triệu chứng là thuật ngữ tương ứng với và chúng ta có $k$ $t = k$

c (n, k) = (\binom{n - 1}{k}) + O_{k} (n^{k - 1}) = \frac{1}{k!} n^{k} + O_{k} (n^{k - 1}) .

$c(n,k) = \binom{n-1}{k} + O_k(n^{k-1}) = \frac{1}{k!} n^k + O_k(n^{k-1}).$

c (n + 1, k)

$c(n+1,k)$

$k$ $\binom{n+t-k-1}{t} = \binom{n+t-k-1}{n-k-1}$ $t$ $\sum_{t=0}^k c(k,t) \leq k!$

(\binom{n - 1}{k}) \leq c (n, k) \leq k! (\binom{n - 1}{k}) .

$\binom{n-1}{k} \leq c(n,k) \leq k! \binom{n-1}{k}.$

— Yuval Filmus
nguồn

c (n, k) \leq k! (\binom{n - 1}{k}) \leq e k^{k + 1 / 2} e^{- k} (e (n - 1) / k)^{k}

$c(n,k)\leq k!\binom{n-1}{k} \leq ek^{k+1/2}e^{-k}(e(n-1)/k)^k$

c (n, k) \leq e \sqrt{k} (n - 1)^{k}

$c(n,k) \leq e\sqrt{k}(n-1)^k$