Các thuật toán gần đúng cho Cắt tối thiểu có hướng với các ràng buộc về Cardinality

Chúng tôi muốn biết liệu có bất kỳ kết quả xấp xỉ được biết đến cho cardinality hạn chế tối thiểu - -cut trên đồ thị có hướng. Chúng tôi không thể tìm thấy bất kỳ kết quả như vậy trong văn học. $s$ $t$

Vấn đề được định nghĩa như sau:

Ví dụ: Một đạo diễn đồ thị , một hàm chi phí , hai đỉnh và một số nguyên . $G=(V,E)$ $w : E \to \mathbb{R_0^+}$ $s,t \in V$ $k$

Giải: Một - -cut, tức là một phân vùng của thành hai bộ sao cho , và số cạnh vượt qua nhiều nhất là , tức là . $s$ $t$ $V$ $V_1, V_2$ $s \in V_1$ $t \in V_2$ $k$ $|\{ (u,v) \in E: u \in V_1, v \in V_2 \}| \le k$

Biện pháp (để giảm thiểu): Chi phí của việc cắt giảm:

\sum_{(u, v) \in E : u \in V_{1}, v \in V_{2}} w (u, v)

$\sum_{ (u,v) \in E : u \in V_1, v \in V_2 } w(u,v)$

Trong "Các vấn đề cắt giới hạn và đa tiêu chuẩn (đa) ", các phần tử tự động chứng minh rằng vấn đề này là NP-Hard mạnh ngay cả đối với các biểu đồ không có hướng.

Chúng tôi chủ yếu quan tâm đến các thuật toán xấp xỉ cho các đồ thị có hướng, nhưng kết quả gần đúng cho trường hợp không xác định cũng có thể hữu ích.

Cảm ơn bạn cho bất kỳ hiểu biết.

— Steven
nguồn

Xin lỗi nó không phải là một câu trả lời, thực sự tôi muốn hỏi làm thế nào để chuyển xấp xỉ hai tiêu chí thành xấp xỉ tiêu chí đơn tiêu? xin hãy tha thứ cho tôi

— Jianhao Ma

Chúng ta có thể có được một xấp xỉ hai tiêu chí như sau (hoặc tổng quát hơn xấp xỉ hai tiêu chí). $(2,2)$ $(1+\varepsilon, 1 + 1/\varepsilon)$

Chúng tôi có thể giả định rằng chúng tôi biết chi phí của giải pháp tối ưu. Biểu thị nó bằng cách . Đặt $OPT$ Xem xét giải pháp tối ưu. Sau đó

w^{'} (u, v) = \frac{w (u, v)}{O P T} + \frac{1}{k} .

$w'(u,v) = \frac{w(u,v)}{OPT} + \frac{1}{k}.$

(V_{1}, V_{2})

$(V_1, V_2)$

\sum_{(u, v) \in E (V_{1}, V_{2})} w^{'} (u, v) = \sum_{(u, v) \in E (V_{1}, V_{2})} (\frac{w (u, v)}{O P T} + \frac{1}{k}) = 1 + \frac{| E (V_{1}, V_{2}) |}{k} \leq 2.

$\sum_{(u,v) \in E(V_1, V_2)} w'(u,v) = \sum_{(u,v) \in E(V_1, V_2)} \left(\frac{w(u,v)}{OPT} + \frac{1}{k}\right) = 1 + \frac{|E(V_1,V_2)|}{k} \leq 2.$

$s$ $t$ $(V_1', V_2')$ $G$ $w'$ $2$ $(V_1', V_2')$

E (V_{1}^{'}, V_{2}^{'}) = \sum_{(u, v) \in E (V_{1}^{'}, V_{2}^{'})} 1 \leq k \sum_{(u, v) \in E (V_{1}^{'}, V_{2}^{'})} w^{'} (u, v) \leq 2 k

$E(V_1', V_2') = \sum_{(u,v)\in E(V_1',V_2') } 1 \leq k \sum_{(u,v)\in E(V_1',V_2')} w'(u,v) \leq 2k$

\sum_{(u, v) \in E (V_{1}^{'}, V_{2}^{'})} w (u, v) \leq O P T \sum_{(u, v) \in E (V_{1}^{'}, V_{2}^{'})} w^{'} (u, v) \leq 2 O P T .

$\sum_{(u,v)\in E(V_1',V_2')} w(u,v) \leq OPT \sum_{(u,v)\in E(V_1',V_2')} w'(u,v) \leq 2OPT.$

— Yury
nguồn

Cảm ơn rất nhiều. Thuật toán của bạn rất thú vị và sâu sắc. Thật không may, có vẻ như thuật toán xấp xỉ bicriteria là không đủ đối với chúng tôi, vì chúng tôi cần mọi giải pháp gần đúng để có thể khả thi trong việc hạn chế cardinality. Bạn có biết nếu có bất kỳ kết quả như vậy được biết đến trong văn học? Cảm ơn một lần nữa!

— Steven

k

$k$

(k + 1) / 2

$(k+1)/2$

V = s, t, x

$V={s,t,x}$

s

$s$

x

$x$

(k + 1) / 2

$(k+1)/2$

x

$x$

t

$t$

k + 1

$k+1$

(k + 1) / 2

$(k+1)/2$

x_{e} = 2 / (k + 1)

$x_e=2/(k+1)$

s

$s$

x

$x$

x_{e} = 1 - 2 / (k + 1)

$x_e=1-2/(k+1)$

x

$x$

t

$t$

1

$1$

(k + 1) / 2

$(k+1)/2$ .

— Yury

(k + 1) / 2

$(k+1)/2$