Tại sao phỏng đoán thứ hạng log sử dụng thứ hạng trên thực tế?

Trong sự phức tạp trong giao tiếp, phỏng đoán thứ hạng log nói rằng

c c (M) = (\log r k (M))^{O (1)}

$cc(M) = (\log rk(M))^{O(1)}$

Trong đó là độ phức tạp giao tiếp của và là thứ hạng của (dưới dạng ma trận) so với thực tế. $cc(M)$ $M(x,y)$ $rk(M)$ $M$

Tuy nhiên, khi bạn chỉ sử dụng phương thức xếp hạng để hạ thấp bạn có thể sử dụng trên bất kỳ trường nào thuận tiện. Tại sao phỏng đoán thứ hạng log lại hạn chế rk trên thực tế? Là phỏng đoán được giải quyết cho trên các trường có đặc tính khác không? Nếu không, nó có đáng quan tâm không hoặc có điều gì đặc biệt về hơn không? $cc(M)$ $rk$ $rk$ $rk$ $\mathbb{R}$

— Artem Kaznatcheev
nguồn

BTW Tôi tin rằng bạn nên hạn chế là nhị phân, nếu không bạn có thể tạo ra các mẫu đối trọng tầm thường.

M

$M$

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov Ý của bạn là gì đối với các phản ứng tầm thường nếu không phải là (Tôi tin rằng bạn có nghĩa là trên thực tế)?

M

$M$

0 / 1

$0/1$

— T ....

Ví dụ: vấn đề "đoán số của tôi", tức là Alice có một số trong và Bob phải xuất nó. Thật dễ dàng để thấy độ phức tạp trong giao tiếp là nhưng thứ hạng của ma trận là .

{1, \dots, N}

$\{1, \ldots, N\}$

\log N

$\log N$

1

$1$

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov Bạn có thể xác định chính xác số của tôi không? Tôi không thể hình dung được ma trận đặc trưng. Alice có và Bob có , vậy hàm từ đó của hạng được xác định là gì?

x

$x$

y

$y$

f (x, y)

$f(x,y)$

M

$M$

1

$1$

— T ....

Hàm số là trong đó và là các vectơ -bit. Nếu định nghĩa về độ phức tạp trong giao tiếp đòi hỏi giá trị của được xác định hoàn toàn bằng bảng điểm giao thức (đây là định nghĩa trong Kushilevitz-Nisan), thì rõ ràng độ phức tạp là .

f (x, y) = x

$f(x, y) = x$

x

$x$

y

$y$

n

$n$

f

$f$

n

$n$

— Sasho Nikolov

Việc phỏng đoán thất bại trên . Nhìn vào và . Độ phức tạp trong giao tiếp là , nhưng thứ hạng của so với là , bởi tính tuyến tính của sản phẩm bên trong. $\mathbb{F}_2$ $M(x, y) = \langle x, y \rangle \bmod 2$ $x, y \in \{0, 1\}^n$ $\Omega(n)$ $M$ $\mathbb{F}_2$ $n$

— Sasho Nikolov
nguồn