Gần đây, tôi đã gặp các biến thể của màu cạnh.
Đưa ra một đồ thị vô hướng được kết nối, tìm màu của các cạnh sử dụng số lượng màu tối đa trong khi cũng thỏa mãn các ràng buộc mà đối với mỗi đỉnh , sự cố các cạnh đối với sử dụng tối đa hai màu.v
Tôi đoán đầu tiên là vấn đề là NP-hard. Bằng chứng NP-hard cổ điển cho các vấn đề tô màu đồ thị chủ yếu bằng cách giảm từ 3SAT. Nhưng theo tôi, những bằng chứng này không hữu ích cho vấn đề này bởi vì các cạnh của đỉnh có thể được tô màu với cùng màu, vì vậy chúng ta không thể xây dựng các thành phần logic trong biểu đồ.
Vấn đề này có thể là NP-hard? Nếu có, một bằng chứng là gì? Nếu chúng ta không thể phạt một bằng chứng, có phương pháp nào để xác định mức độ phức tạp của vấn đề này không?
Cảm ơn!
Có lẽ Hypergraph Coloring hỗn hợp hoặc giới hạn màu có thể là một sự khởi đầu? Chẳng hạn, dx.doi.org/10.1016/j.disc.2008.04.019
—
András Salamon
Có vẻ như vấn đề của bạn là ở P, theo hai bước: (1) vấn đề của bạn tương đương với việc tìm một tập hợp con có kích thước tối đa của các cạnh sao cho mọi đỉnh đều có độ lớn nhất là hai và (2) vấn đề thứ hai dường như nằm ở P bằng, nói, giảm để phù hợp. Về (1), lưu ý rằng bất kỳ giải pháp nào cho vấn đề của bạn với màu k đều cung cấp biểu đồ con độ 2 có kích thước k (chỉ giữ lại một cạnh từ mỗi màu) và ngược lại, bất kỳ biểu đồ con độ 2 nào có kích thước k đều cung cấp giải pháp có k màu (chỉ tô màu mỗi cạnh trong biểu đồ con màu của riêng nó, tô màu các cạnh còn lại với bất kỳ một màu nào). Tôi đang thiếu gì?
—
Neal Young
Tôi xin lỗi vì có một vài sai lầm trong câu trả lời của bạn. Đầu tiên, vấn đề "tìm một tập hợp con có kích thước tối đa của các cạnh sao cho mọi đỉnh đều có độ lớn nhất là hai", là NP-hard, giảm xuống 3SAT (tôi thực sự không biết làm thế nào nó có thể giảm để khớp). Hơn nữa, "bất kỳ biểu đồ con độ 2 nào có kích thước k" không đưa ra "giải pháp có k màu", ví dụ, Đồ thị hoàn chỉnh. Cảm ơn tất cả các bạn như nhau.
—
RIC_Eien
Vâng bạn đã đúng. Về (2), bước "tô màu phần còn lại của các cạnh bằng bất kỳ một màu nào" có thể cho một số cạnh của ba màu. Một cách riêng biệt, Marek Chrobak đề xuất thuật toán sau cho tôi. Tôi nghĩ rằng nó mang lại xấp xỉ 3: (i) tìm M khớp tối đa; (ii) tô màu mỗi cạnh trong M màu riêng của nó; (iii) tô màu các cạnh còn lại màu trắng.
—
Neal Young
@RIC_Eien: Có nguy cơ bối rối hơn nữa .. Bạn có chắc chắn "vấn đề" tìm một tập hợp con có kích thước tối đa của các cạnh sao cho mọi đỉnh đều có độ lớn nhất là hai ", có phải là NP-hard" không? Cho G = (V, E), tạo bipartite G2 = (U, W, E2), trong đó với mỗi đỉnh v trong V có v 'trong U và v' 'trong W và E2 = {(u', w ''): (u, w) trong E}. Sau đó, các khớp trong G2 tương ứng với các tập hợp độ 2 của G và G tương ứng có giữ được kích thước không? (Vì mỗi chu kỳ k trong G tương ứng trong G2 tương ứng với chu kỳ 2k (nếu k lẻ) hoặc hai chu kỳ k (nếu k chẵn).) Vì vậy, kết hợp tối đa trong G2 sẽ giải quyết nó. Tôi đang thiếu gì thời gian này?
—
Neal Young