Các yếu tố quyết định và nhân ma trận - Sự giống nhau và khác biệt về độ phức tạp thuật toán và kích thước mạch số học

Tôi đang cố gắng tìm hiểu mối quan hệ giữa độ phức tạp thuật toán và độ phức tạp mạch của các số xác định và phép nhân ma trận.

Người ta biết rằng định thức của ma trận có thể được tính trong thời gian , trong đó là thời gian tối thiểu cần thiết để nhân bất kỳ hai ma trận . Người ta cũng biết rằng độ phức tạp mạch tốt nhất của các định thức là đa thức ở độ sâu và hàm mũ ở độ sâu 3. Nhưng độ phức tạp của phép nhân ma trận, đối với bất kỳ độ sâu không đổi nào, chỉ là đa thức. $n\times n$ $\tilde{O}(M(n))$ $M(n)$ $n\times n$ $O(\log^{2}(n))$

Tại sao có sự khác biệt về độ phức tạp của mạch đối với các định thức và phép nhân ma trận trong khi được biết rằng từ một phép tính xác định phối cảnh thuật toán tương tự như phép nhân ma trận? Cụ thể, tại sao độ phức tạp của mạch có khoảng cách theo cấp số nhân ở độ sâu- ? $3$

Có lẽ, lời giải thích là đơn giản nhưng tôi không thấy nó. Có một lời giải thích với 'sự nghiêm khắc'?

Cũng xem trong: Công thức nhỏ nhất được biết đến cho yếu tố quyết định

— T ....
nguồn

Câu trả lời:

Xem xét vấn đề giá trị mạch và đánh giá công thức Boolean cho các lớp phức tạp nhỏ khác nhau. Độ phức tạp thời gian tuần tự xác định của chúng là tương tự như chúng ta biết, nhưng chúng rất khác nhau từ quan điểm phức tạp mạch. Sự tương đồng trong một loại tài nguyên cụ thể trên một mô hình không bao hàm sự tương tự đối với các tài nguyên khác trong các mô hình khác. Một vấn đề có thể là chúng ta có thể khai thác tính toán song song cho một trong khi chúng ta không thể làm điều đó cho một vấn đề khác, nhưng độ phức tạp thời gian tuần tự của chúng có thể giống nhau.

Khi nào chúng ta có thể mong đợi một mối quan hệ mạnh mẽ hơn giữa sự phức tạp của hai vấn đề giữa các mô hình và các tài nguyên khác nhau? Khi chúng được giảm mạnh giữa chúng theo cả hai hướng tôn trọng tài nguyên trong các mô hình đó.

Chỉnh sửa: phép nhân có độ sâu kích thước phụ 3 mạch. Chứng minh giới hạn dưới của loại xác định đó sẽ cho thấy nó không nằm trong tách nó ra khỏi mà không được biết. $\mathsf{NL}$ $\mathsf{NC^2}$

— Kaveh
nguồn

"phép nhân có 3 chiều sâu kích thước phụ." Tôi nghĩ rằng phép nhân có kích thước mạch

ở bất kỳ độ sâu nào vì nó chỉ liên quan đến việc kéo

biến và nhân chúng theo một số thứ tự và thêm các sản phẩm trung gian.

O (n^{3})

$O(n^{3})$

n^{2}

$n^{2}$

— T ....

Phép nhân hai số nguyên hoàn thành cho

và do đó không nằm trong

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

— Kaveh

Bây giờ tôi chỉ nhìn vào sự phức tạp liên tiếp.

— T ....

Tôi không chắc chắn nếu tôi làm theo bình luận của bạn. Tôi nghĩ rằng bài đăng của tôi trả lời câu hỏi trong cài đặt Boolean (câu hỏi không đề cập đến các mạch số học ban đầu là IIRC). Đối với cài đặt mạch số học tôi không biết nhiều, hy vọng những người khác sẽ trả lời câu hỏi.

— Kaveh

Tôi muốn nói rằng khoảng cách trong cài đặt số học cho chúng ta biết rằng nhân ma trận vốn dĩ là một nhiệm vụ song song hơn nhiều so với định thức. Nói cách khác, trong khi độ phức tạp tuần tự của cả hai vấn đề có liên quan chặt chẽ với nhau, thì độ phức tạp song song của chúng không gần nhau.

$D(n)$ $n\times n$

O (\log n) \leq D (n) \leq O (\log^{2} n) .

$O(\log n)\le D(n) \le O(\log^2 n).$

3

$3$

(A \cdot B)_{i j} = \sum_{k} A_{i k} B_{k j}

$(A\cdot B)_{ij}=\sum_k A_{ik}B_{kj}$

— Bruno
nguồn

Tôi không biết liệu đây có phải là một anwser cho "tại sao độ phức tạp của mạch có khoảng cách theo cấp số nhân ở độ sâu 3 không?", Nhưng ít nhất bạn có bằng chứng về sự thật này là giấy của Csanky.

— Bruno

Nếu tôi hiểu chính xác, bạn đang ngụ ý: để có số lượng bộ xử lý đa thức, người ta cần độ sâu logarit?

— T ....

Tôi không nhớ mô hình chính xác mà Csanky đã sử dụng. Trên thực tế, anh ta đang xem xét những gì chúng ta ngày nay gọi là mạch số học với fan-in giới hạn . Do đó, giới hạn dưới là khá nhỏ và so sánh của tôi với phép nhân ma trận không liên quan.

— Bruno