Bằng chứng thay thế của bổ đề Schwartz Zippel

Tôi chỉ biết hai bằng chứng về bổ đề Schwartz Zippel của Schwartz. Bằng chứng đầu tiên (phổ biến hơn) được mô tả trong mục wikipedia . Bằng chứng thứ hai được phát hiện bởi Dana Moshkovitz.

Có bằng chứng nào khác sử dụng những ý tưởng khác nhau đáng kể không?

Đây là một ý tưởng khác mà tôi có cho một bằng chứng hình học. Nó sử dụng hình học chiếu theo một cách thiết yếu.

Hãy là một điểm affine ngoài hypersurface . Chiếu siêu mặt lên siêu phẳng ở vô cực bằng cách sử dụng làm tâm; nghĩa là ánh xạ mọi lên , giao điểm của đường thẳng duy nhất qua và với siêu phẳng ở vô cực. Các tiền đề dưới của một điểm ở vô cực đều nằm trên cùng một đường thẳng, và do đó (một lần nữa giảm vấn đề xuống chiều 1) có hầu hết . Siêu phẳng ở vô cực có cardinality, vì vậy chúng ta có được giới hạn trên quen thuộc. S c x ∈ S p ( x ) c x p $c \in \mathbb F^m$$S$$c$$x \in S$$p(x)$$c$$x$$p$$d$| S | ≤ d | F m - 1$|\mathbb F^{m-1}|$$|S| \leq d\ |\mathbb F^{m-1}|$

Để theo dõi câu trả lời của Per Vognsen, bằng chứng của Dana Moshkovitz đã gợi ý một bằng chứng thực sự dễ dàng cho chỉ một phiên bản yếu hơn của Schwartz-Zippel Lemma, theo tôi, là đủ cho hầu hết các ứng dụng.

Đặt là một đa thức khác không của độ , trong đó là trường hữu hạn của thứ tự và đặt là một điểm sao cho . Có nhiều dòng riêng biệt đi qua sao cho chúng phân vùng . Hạn chế của để mỗi người trong số những dòng này là một mức độ đơn biến đa thức, đó là khác không, bởi vì nó là nonzero tại , và do đó, có ít nhất số không. Do đó, tổng số không của$f : \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}$$q$$x \in \mathbb{F}^n$$f(x) \neq 0$$(q^n-1)/(q-1)$$x$$\mathbb{F}^n-\{x\}$$f$$d$ $x$$d$$f$nhiều nhất là . Schwartz-Zippel, để so sánh, đưa ra giới hạn trên mạnh hơn của .$d(q^n-1)/(q-1)$$d q^{n-1}$

Với sự dễ dàng của bằng chứng này, tôi chắc chắn đó là văn hóa dân gian; nếu không, nó sẽ là :) Tôi đánh giá cao nếu ai đó có thể cung cấp một tài liệu tham khảo.

Bằng chứng của Moshkovitz dựa trên hình học đơn giản nhưng bài báo không quá rõ ràng về điều đó. Đây là ý tưởng:

Một đa thức độ trong các biến cắt ra một siêu mặt trong . Giao điểm của siêu mặt và một đường độc lập (nghĩa là giao điểm không phải là toàn bộ đường) có nhiều nhất d điểm. Nếu bạn có thể tìm thấy một hướng ở mọi nơi độc lập với siêu mặt, bạn có thể kết hợp bằng các đường song song theo hướng đó và đếm các giao điểm trong mỗi dòng. Foliation được tham số hóa bởi phần bù trực giao của hướng, là một siêu phẳng đẳng cấu với , do đó, tổng số điểm siêu mặt trên tất cả nhiều nhất là .m F m F m F m - 1 F m d | F | m - $d$$m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^{m-1}$$\mathbb F^m$$d\ |F|^{m-1}$

Điều này cho thấy rằng các bằng chứng khác dọc theo các dòng tương tự có thể hoạt động.

Chỉnh sửa: Tôi muốn nói một chút về bằng chứng của Arnab liên quan đến Moshkovitz. Anh ta lấy một điểm bên ngoài siêu mặt và xem xét bút chì của các dòng thông qua điểm đó. Moshkovitz coi một gia đình của các đường song song. Có vẻ khác nhau nhưng nó thực sự giống nhau! Một gia đình song song là một cây bút chì của các dòng thông qua một điểm ở vô cực. Đại số của Arnab áp dụng nguyên văn nếu trước tiên bạn thực hiện phép đồng nhất hóa đa thức và giới hạn đối với siêu phẳng ở vô cực bằng cách cắm vào , xóa sạch tất cả các thuật ngữ không dẫn đầu.$w = 0$

Chỉnh sửa: Xem câu trả lời khác của tôi cho một bằng chứng mới (nhưng không hoàn toàn không liên quan).

Nỗ lực 1:

Bạn đã xem Lemma A.36 (trang 529) của cuốn sách Arora / Barak chưa? Nó gần một nửa trang, và dựa trên cảm ứng.

Nếu bạn không có quyền truy cập vào cuốn sách, tôi có thể thực hiện bằng chứng ở đây.

Cố gắng 2:

Điều gì về Lịch sử tò mò của Bổ đề Schwartz-Zippel ? Trong số những người khác, nó trích dẫn bài báo của DeMillo-Lipton , có từ năm 1977. Một số bài báo khác cũng được đặt tên và so sánh.

Cố gắng 3:

Chủ đề MathOverflow sau đây cũng có thể được quan tâm: Thuật toán P / poly để kiểm tra nhận dạng đa thức .

Bổ đề Schwartz-Zippel là một trường hợp đặc biệt của một định lý của Noga Alon và Zoltan Füredi như trong Phần 4 của bài viết này: On Zeros of a Polynomial in Finite Grid , và do đó, bất kỳ bằng chứng mới nào về định lý đó đều đưa ra bằng chứng mới về Schwartz -Zippel. Đến bây giờ, tôi biết sáu bằng chứng khác nhau, hai trong số đó xuất hiện trong bài báo và những bằng chứng khác được tham chiếu ở đó.

Định lý Alon-Furedi nói như sau:

Đặt là một trường, hãy để là một lưới hữu hạn và đặt là một đa thức mà không biến mất hệt trên . Sau đó cho ít nhất phần tử , trong đó mức tối thiểu được lấy trên tất cả các số nguyên dương với .$F$$A = \prod_{i=1}^n A_i \subset F^n$$f \in F[\underline{t}] = F[t_1,\ldots,t_n]$$A$$f(x) \neq 0$$\min \prod y_i$y i ≤ # A i ∑ n i = 1 y i = ∑ n i = 1 # A i - deg $x \in A$$y_i \leq \# A_i$$\sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n \# A_i - \deg f$

Trong trường hợp này, nếu bạn giả sử và tìm ra mức tối thiểu (có thể thực hiện dễ dàng bằng cách sử dụng công cụ Balls in Bins được đề cập trong bài báo), thì bạn sẽ nhận được bổ đề Schwartz-Zippel trên một trường (hoặc a miền).$\deg f < \min \#A_i$

Công thức ban đầu của bổ đề Schwartz Zippel chỉ áp dụng cho các trường:

Bổ đề (Schwartz, Zippel).
Hãy là một khác không đa thức tổng độ trên một lĩnh vực, . Hãy là tập con hữu hạn của và để được lựa chọn một cách ngẫu nhiên độc lập và thống nhất từ . Sau đó $P\in F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$F$$S$$F$$r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

Người ta có thể cải tổ bổ đề sao cho hợp lý cho các vòng giao hoán tùy ý:

Bổ đề (Jeřábek).
Hãy là một khác không đa thức tổng độ trên một chiếc nhẫn giao hoán, . Đặt là tập con hữu hạn của với và cho được lựa chọn một cách ngẫu nhiên độc lập và thống nhất từ . Sau đó $P\in R[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$R$$S$$R$$\forall s, t\in S:((\exists u\in R:(u\neq 0\land su=tu))\Rightarrow s=t)$ S Pr [ P ( r 1 , r 2 , ... , r n ) = 0 ] ≤ $r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

Ưu điểm của bằng chứng từ wikipedia là nó khái quát để cho thấy rằng việc cải cách đúng với các vòng giao hoán tùy ý, đã được Emil Jeřábek chú ý và thực hiện ở đây .

Điều này đưa ra một bằng chứng thay thế cho bổ đề Schwartz-Zippel, bằng cách chứng minh sự cải tổ cho các vòng giao hoán chung và thu được công thức bình thường cho các trường như một hệ quả.