Bạn có thể xác định tổng của hai hoán vị trong thời gian đa thức?

29

Có hai câu hỏi được hỏi gần đây trên cs.se có liên quan đến hoặc có trường hợp đặc biệt tương đương với câu hỏi sau:

Giả sử bạn có một chuỗi của số sao cho Phân tách nó thành tổng của hai hoán vị, và , của , sao cho . $a_1, a_2, \ldots a_n$ $n$ $\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1).$ $\pi$ $\sigma$ $1 \dots n$ $a_i = \pi_i + \sigma_i\,$

Có một số điều kiện cần thiết: nếu được sắp xếp sao cho , thì chúng ta phải có $a_i$ $a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n\,$

\sum_{i = 1}^{k} a_{i} \geq k (k + 1) .

$\sum_{i=1}^k a_i \geq k(k+1).$

Tuy nhiên, những điều kiện này là không đủ. Từ câu trả lời cho câu hỏi toán học này. Tôi đã hỏi, chuỗi 5,5,5,9,9,9 không thể được phân tách thành tổng của hai hoán vị (người ta có thể thấy điều này bằng cách sử dụng thực tế là cả 1 hoặc 5 chỉ có thể được ghép với 4).

Vì vậy, câu hỏi của tôi là: sự phức tạp của vấn đề này là gì?

— Peter Shor
nguồn

BTW, Một biến thể đơn giản xuất hiện trong đầu tôi và tôi không chắc về sự phức tạp của nó. Bạn có thể xác định tổng số điểm cố định của hai hoán vị trong thời gian đa thức không? (Chúng tôi yêu cầu hai hoán vị không đồng ý ở mỗi vị trí, ví dụ: cho tất cả

)

π_{i} \neq σ_{i}

$\pi_i \ne \sigma_i$

i

$i$

— Mohammad Al-Turkistany

20

Không, bạn không thể xác định tổng của hai hoán vị trong thời gian đa thức trừ khi P = NP. Vấn đề của bạn là NP-đầy đủ vì phiên bản quyết định của vấn đề của bạn tương đương với vấn đề NP-đầy đủ -Kết hợp số với tổng số mục tiêu: $2$

Input: Chuỗi các số nguyên dương, , cho $a_1, a_2, \ldots a_n$ $\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1)$ $1 \le a_i \le 2n$ $1 \le i \le n$

Câu hỏi: Có hai hoán vị và sao cho cho ? $\psi_1$ $\psi_2$ $\psi_1(i)+\psi_2(i)= a_i$ $1\le i \le n$

Trong tài liệu tham khảo, một biến thể bị hạn chế nghiêm trọng của SỐ LIỆU 3-DIMENSIONAL (RN3DM) đã được chứng minh là hoàn thành NP mạnh mẽ.

RN3DM, Cho đa bội các số nguyên và một số nguyên như vậy , đừng có tồn tại hai hoán vị và mà , cho ? $U = \{u_1, . . . , u_n\}$ $e$ $\sum_{j=1}^n u_j + n(n + 1) = ne$ $\lambda$ $\mu$ $u_j + \lambda( j ) + \mu( j ) = e$ $j = 1, . . . , n$

Có một sự giảm dễ dàng từ RN3DM xuống -Kết hợp số với vấn đề tổng số đích: Cho một thể hiện của RN3DM. Chúng tôi xây dựng thể hiện tương ứng bằng cách tạo cho $2$ $a_i= e-u_i$ $1 \le i \le n$

W. Yu, H. Hoogeveen và JK Lenstra. Giảm thiểu makepan trong một cửa hàng lưu lượng hai máy với độ trễ và hoạt động theo thời gian đơn vị là NP-hard . Tạp chí Lập kế hoạch, 7: 333 Hàng348, 2004

EDIT ngày 1 tháng 10 : Vấn đề của bạn được gọi là SUMS PERMUTATION. Nó được liệt kê từ năm 1998 trong các VẤN ĐỀ MỞ TRONG TỐI ƯU HÓA HOÀN HẢO của Steve Hedetniemi.

— Mohammad Al-Turkistany
nguồn

2

Cảm ơn câu trả lời. Tôi đã trả lời một trong những vấn đề trên cs.se mà lấy cảm hứng từ một này (mà không phải là trong một hình thức trả lời trực tiếp bởi các bạn tham khảo), nhưng tôi nghĩ bạn nên có cơ hội đầu tiên để trả lời câu thứ hai kể từ khi câu trả lời được đưa ra trong tài liệu tham khảo của bạn.

— Peter Shor

Cảm ơn Peter rất nhiều. Tôi vui vì tôi đã có thể giúp bạn. Tôi nghĩ rằng bạn sẽ tạo ra một câu trả lời tốt hơn. Vì vậy, xin vui lòng đi trước và trả lời câu hỏi đó quá.

— Mohammad Al-Turkistany

Đây là báo cáo vấn đề như đã xuất hiện trên trang Web ở trên: PERMUTATION SUMS [Cheston, 198X] INSTANCE: Mảng A [1..n] của các số nguyên dương. CÂU HỎI: Có tồn tại hai hoán vị r và s của các số nguyên dương {1,2, ..., n} sao cho 1 <= i <= n, r (i) + s (i) = A [i] ?

— Mohammad Al-Turkistany

4

Mặt khác, Marshall Hall cho thấy có thể xác định sự khác biệt của hai hoán vị một cách dễ dàng.

— nai sừng tấm
nguồn

14

Định lý của Marshall Hall cũng áp dụng cho tổng, nhưng cả sự khác biệt và tổng phải được tính toán modulo

cho kết quả của anh ta để áp dụng. Trên

, cả tổng và hiệu đều hoàn thành NP.

n

$n$

Z

$\mathbb{Z}$

— Peter Shor

3

@PeterShor Để hoàn thiện, vui lòng gửi bình luận của bạn dưới dạng câu trả lời riêng biệt bằng cách cung cấp một bản phác thảo bằng chứng về tính đầy đủ của NP trong việc xác định sự khác biệt của hai hoán vị.

— Mohammad Al-Turkistany

3

ϕ

$\phi$

π

$\pi$

\bar{π} (i) = n + 1 - π (i)

$\bar{\pi}(i) = n+1 - \pi(i)$

ϕ + π

$\phi+\pi$

{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}

$\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$

ϕ - \bar{π}

$\phi-\bar{\pi}$

{x_{1} - (n + 1), x_{2} - (n + 1), \dots, x_{n} - (n + 1)}

$\{x_1-(n+1), x_2-(n+1), \ldots, x_n-(n+1)\}$

{- 2, - 2, - 2, 2, 2, 2}

$\{-2,-2,-2,2,2,2\}$

{5, 5, 5, 9, 9, 9}

$\{5,5,5,9,9,9\}$

— Peter Shor